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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
1. Calcular los dominios de definición de las siguientes funciones:
a) f ( x ) =

e) f ( x ) =

x −1

b) f (x ) =

2

x + x −6
2f) f ( x) =

x + x −2

x +3
5+ x
e 1+ x

c) f ( x ) = ln

2−x
x +1

g) f ( x ) = sen

d) f ( x ) = arctg

1
2

x −9

h) f ( x) = arccos

3

x−4
ex

4x + 4
2x + 3

Solución
a) La función f ( x ) es racional, por lo tanto, no está definida en aquellos puntos que anulan el
x 2 + x − 6 = 0 cuya solución es

denominador. Para determinarlos se resuelve la ecuación
−1± 1 + 24 −1 ± 5 ⎧ 2
, luego D = R - {-3, 2}.
x =
=
=⎨
2
2
⎩−3
b) Como f (x ) =

x + 3 está definida por una raíz cuadrada, sólo se puede calcular si el radicando

es no negativo, es decir, si x + 3 ≥ 0 . Despejando x se tiene x ≥ −3 y por tanto, D = [-3, +∞).
2−x
es composición de una función logarítmica y una racional, por tanto,
x +1
para calcular su dominio hay que tener encuenta que las dos estén definidas.

c) La función f (x ) = ln

El logaritmo neperiano sólo se puede hallar de expresiones positivas, luego, es necesario que
2−x
2−x
utilizaremos la tabla siguiente:
> 0 . Para estudiar el signo
x +1
x +1
Signo

(-∞, -1)

(-1, 2)

(2, +∞)

2−x

+

+

-

x +1

-

+

+

2−x
x +1

-

+

-

2−x
2−x
un cociente su denominadordebe de ser
> 0 en (-1, 2). Además, por ser
x +1
x +1
no nulo y por ello, x ≠ −1 .

Se cumple que

Por tanto, D = (-1, 2).
d) En la función arctg

3

x−4
ex

aparecen las funciones arco tangente, raíz cúbica y exponencial

además de un cociente, por lo que se tiene que considerar los puntos donde todas ellas estén
definidas. Para ello hay que tener en cuenta lo siguiente:
Lafunción e x está definida para cualquier valor de x.
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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

3

La función
El cociente

x − 4 por estar dada por una raíz índice impar, está definida paracualquier valor de x.
3

x−4

tiene denominador no nulo ya que e x > 0, y por lo tanto, está definido para

ex

cualquier valor de x.
La función arco tangente tiene por dominio R, y por ello, está definida para cualquier valor de x.
Por tanto, D = R.
e) Como f ( x ) =

x2 + x − 2

está definida por una raíz cuadrada se tiene que cumplir que

x2 + x − 2 ≥ 0 . Se factoriza el polinomioquedando ( x − 1)( x + 2) ≥ 0 , y se estudia su signo en la
tabla que sigue:
Signo

(-∞, -2)

(-2, 1)

(1, +∞)

x −1

-

-

+

x +2

-

+

+

(x − 1)( x + 2)

+

-

+

Teniendo en cuenta que x = -2 y x = 1 verifican la desigualdad se tiene que D = (-∞, -2] ∪ [1,+∞).
f) La función exponencial f ( x ) =

5+ x
e 1+ x

está definida siempre que lo esté su exponentedecir, si 1 + x ≠ 0 . Luego, D = R - {-1}.
g) La función f (x ) = sen

1
2

x −9

5+ x
, es
1+ x

es composición de la función seno y una racional. Como el dominio

de la función seno es R , f(x) está definida cuando exista la función racional

1
2

x −9

, es decir, si

x 2 − 9 ≠ 0 , lo que es lo mismo x 2 − 9 = ( x + 3)( x − 3) ≠ 0 , de donde se tiene que x ≠ 3, −3 .Por tanto, D = R - {3, -3}.
h) La función f ( x ) = arccos

4x + 4
es composición de la función arco coseno y una racional. El
2x + 3

dominio de la función arco coseno es [-1, 1], por lo que para poder definir f(x) se debe verificar que
⎧ 4x + 4
⎪ 2x + 3 ≤ 1
4x + 4
⎪
−1 ≤
≤ 1 , es decir, se tiene que cumplir el sistema de inecuaciones ⎨
2x + 3
⎪−1 ≤ 4 x + 4
⎪
2x + 3
⎩...