Matematica

Introducción………………………………………………… Pág. 3

Función continúa……………………………………………Pág.4

Continuidad de una función en un punto………………….Pág.4
Continuidad de una función en un intervalo {a;b} ……….Pág.5
Algunas funciones continuas importantes…………………Pág.5
Derivada y continuidad……………………………………...Pág.5
Teoremas sobre funciones continúas……………………….Pág.6
Funciones discontinuas……………………………………..Pág.6Punto de discontinuidad…………………………………….. Pág.6-7
Discontinuidad Evidente……………………………………. Pág.8-9
Discontinuidad No Evidente…………………………………Pág.9-10
Conclusión……………………………………………………..Pág. 11

Bibliografía………………………………………………….…Pág. 12

Introducción

La Función Continua se conocemos por trazo continuo de dibujo, de una línea sin saltos. Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar quesu gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.
Aquella que no puede dibujarse de un solo trazo. Es decir, existen puntos donde de una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en losvalores de la variable dependiente. Estos puntos reciben el nombre de puntos de discontinuidad de la función.

Función continua: es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

La continuidad defunciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en elpunto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.


Estudiar la continuidad de en x =2
F (2)= 4




Continuidad de una función en un intervalo {a;b}
Una función, f es continua en un intervalo I, si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:
f es continua en un intervalo I ⇔
Dado que una función f escontinua en un intervalo abierto (a, b) si la función es continua en todos los puntos del intervalo, entonces f es continua en el intervalo cerrado [a, b] si y solo si es continua en el intervalo (a, b) y además es continua en el punto a por la derecha y en el punto b por la izquierda.
La función anterior es continua tanto en [-6, 1) como en (1, 6].
Algunas funciones continuas importantesFunciones seno y coseno.
Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.
La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.
En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado sucarácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

Derivada y continuidad
Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a.
Hipótesis: Existe f'(a)
Tesis: f(x) es continua en x= a
Demostración:





Es importante notar que el recíproco no es válido; es decir que nada sepuede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0
Teoremas sobre funciones continuas
Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.
1. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en [a,b] entonces presenta máximos y...