Matematica

Observaciones:
Observaciones:
Caracas, 10 de Mayo de 2012.
Colegio Santa Rosa de Lima.
Catedra: Matemática

Independencia y Dependencia Lineal
Interpretación Geométrica


Dependencia lineal

Lo anterior motiva la siguiente dentición:
Dentición: Un conjunto de vectores en Rn, v1, v2,. . . , vk, es linealmente dependiente si existen constantes c1, c2,..., ck. No todos ceros tales que:c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk = 0.
Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se dice linealmente independiente:
Es decir, cuando la única combinación lineal de los vectores que da el vector cero es la que tienen todos sus coeficientes cero.
Ejemplo 9.1
Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente:

Solución
Debemos ver como deben ser lasconstantes c1, c2 y c3 para que:

El sistema anterior tiene matriz aumentada que al reducirla queda:

Como el sistema tiene solución única c1 = 0, c2 = 0 y c3 = 0 se deduce que la única forma de combinar los vectores x’s para que den el vector cero es la que tiene todos los coeficientes cero. Por tanto, el conjunto de vectores linealmente independientes.

Ejemplo 9.2
Indique si el siguienteconjunto de vectores es linealmente independiente:

Solución
Debemos ver como deben ser las constantes c1, c2 y c3 para que:
c1x1 + c2x2 + c3x3 = 0
El sistema anterior tiene matriz aumentada que al reducirla queda:

Como el sistema tiene infinitas soluciones se deduce que además de la solución c1 = 0, c2 = 0 y c3 = 0 debe tener otras soluciones y en estas otras al menos un coeficiente “c” debe serdiferente de cero. Por ejemplo, reconvirtiendo los renglones no cero de la matriz reducida a ecuaciones se obtiene: c1 + 3c3 = 0 y c2 + 3c3 = 0 es decir, c1 = −3c3 y c2 = −3c3. Dando a c3 un valor diferente de cero (por ejemplo c3 = −1) se pueden obtener coeficientes (siguiendo el ejemplo, c1 = 3 y c2 = 3) que hacen la combinación lineal de el vector cero. Por tanto, el conjunto de vectores eslinealmente dependiente

Criterio de dependencia lineal
El principal resultado para caracterizar conjuntos de vectores linealmente independientes es el siguiente:
Teorema
Sea A = {v1, v2,…, vk} un conjunto de vectores en Rn. Son equivalentes los siguientes hechos.
o El conjunto A es linealmente independiente.
o Tiene solución ´única el sistema [v1 v2 · · · vk|0].
o Tiene k pivotes lamatriz reducida obtenida de [v1 v2 · · · vk].

Conjuntos de dos vectores
El resultado previo indica que para determinar si un conjunto es linealmente independiente habría que reducir una matriz. Sin embargo, hay situaciones donde no es requerido tal proceso.
Teorema
Son equivalentes los siguientes hechos:
a. El conjunto formado por los dos vectores es l.d.
b. Un vector es un múltiplo escalardel otro.
Demostración
Suficiencia (a → b)
Suponga que x1 y x2 forman un conjunto linealmente dependiente. Entonces existen escalares c1 y c2 no ambos cero tal que
c1x1 + c2x2 = 0
Como ambos escalares no son ambos cero, alguno de ellos deberá ser diferente de cero:
o Si c1 diferente a 0, entonces de la ecuación anterior podemos despejar x1:

Y por tanto x1 en un múltiplo de x2.o Si c2 = 0, entonces entonces de la ecuación anterior podemos despejar x2:

Y por tanto x2 en un múltiplo de x1.
Así en cualquier caso uno de los dos vectores es un múltiplo del otro.
Necesidad (b → a)
Suponga que x1 es un múltiplo de x2. Por tanto, existe un escalar c tal que x1 = cx2. Por tanto, 1·x1 + (−c) · x2 = 0. Y por consiguiente el conjunto es linealmente dependiente. Lo mismoocurre en el caso cuando x2 es un múltiplo de x1. Por consiguiente, si uno es un m´ultiplo del otro el conjunto formado por esos vectores será linealmente dependiente.

Independencia Lineal

Definicion: Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y sea
S = {v1, v2, . . . , vn}
un conjunto finito de vectores del espacio vectorial. El conjunto S se dice que es linealmente dependiente...