Matematica

Semana 9 - Clase 25

Tema 4: Sistemas y Series

08/02/11

El Metodo de Frobenius
e
Para la soluci´n de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias alrededor de puntos singulares
o
regulares se utiliza el m´todo de Frobenius1 . Dada una ecuaci´n diferencial de segundo orden:
e
o
⇔

y + F1 (x) y + F2 (x) y = 0

y+

f1 (x)
f2 (x)
y=0
y+
(x − x0 )
(x − x0 )2

(1)

dondeF1 (x) y F2 (x) tienen singularidades regulares en x = x0 y por lo tanto f1 (x) y f2 (x) son
anal´
ıticas alrededor de ese punto entonces, la propuesta de soluci´n ser´ una serie de Frobenius
o
a
∞

an (x − x0 )n

y (x) = (x − x0 )m

(2)

n=0

donde n es entero positivo, pero m puede ser entero positivo (entonces la serie de Frobenius es una
serie de Taylor) o entero negativo(entonces la serie de Frobenius es una serie de Laurent), o un
racional. Por lo cual una serie de Frobenius incluye a las serie de Taylor y Laurent. Para hacer las
cosas m´s simples supongamos, sin perder generalidad, x0 = 0. Adem´s, como f1 (x) y f2 (x) son
a
a
anal´
ıticas entonces
∞

f1 (x) =

∞

bn x

n

y

cn xn

f2 (x) =

n=0

(3)

n=0

por lo tanto, la ecuaci´n (1)queda
o
y+

f1 (x)
f2 (x)
y+
y=0
x
x2

o tambi´n:
e

x2 y + x f1 (x) y + f2 (x) y = 0

⇒

∞

(4)

∞

x2 y + x

bn xn y +
n=0

cn xn y = 0
n=0

Propondremos entonces la serie de Frobenius como soluci´n de prueba:
o
∞

y (x) = x

m

an xn
n=0

por lo tanto:
∞

y (x) = mxm−1

∞

nan xn−1

an xn + xm
n=0

n=1
∞

y (x) = m (m − 1) xm−2

∞

anxn + 2mxm−1
n=0

∞

nan xn−1 + xm
n=1

n (n − 1) an xn−2
n=2

1

Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) Matem´tico Alem´n famoso por sus contribuciones en Teor´ de
a
a
ıa
Grupos y m´todos para resolver ecuaciones diferneciales.
e

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez
e
a
u˜

1

Universidad de Los Andes, M´rida
e

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Tema 4: Sistemas y Series

08/02/11sustituyendo en la ecuaci´n diferencial
o
∞

∞

x2 m (m − 1) xm−2
n=0
∞

x

bn x

mx

m−1

nan xn−1 + xm
n=1
∞
m

∞
n

∞

an xn + 2mxm−1
n

an x + x

n=0

n=0

n (n − 1) an xn−2 +
n=2
∞

nan x

n−1

+

n=1

∞
n

cn x x

m

n=0

an xn = 0
n=0

acomodando algunos t´rminos:
e
∞

m (m − 1) x

m

∞

bn x
n=0

n

mx

∞
nan x + 2mx
n=0
∞
m

m

∞
n

nan x + x
n=1
∞

n

an x + x

m

n=0

m

n (n − 1) an xn +
n=2

∞
n

nan x
n=1

∞
n

+

cn x x
n=0

m

an xn = 0
n=0

podemos ahora sacar como factor com´n a xm ,
u
∞

xm m (m − 1)

∞

n=0

∞

nan xn +

an xn + 2 m
n=1

∞

n (n − 1) an xn +
n=2

∞

bn xn
n=0

∞

an xn +

m
n=0

nan xn +n=1

∞

∞
n

an xn = 0

cn x
n=0

n=0

Expandiendo estas series y factorizando para los t´rminos de igual potencia:
e
{a0 [m (m − 1) + b0 m + c0 ]} xm +
{a1 [m (m + 1) + b0 (m + 1) + c0 ] + a0 [b1 m + c1 ]} xm+1 +
{a2 [(m + 2) (m + 1) + b0 (m + 2) + c0 ] + a1 [b1 (m + 1) + c1 ] + a0 [b2 m + c2 ]} xm+2 +
{a3 [(m + 3) (m + 2) + b0 (m + 3) + c0 ] + a2 [b1 (m + 2) + c1 ] + a1 [b2 (m +1) + c2 ] + a0 [b3 m + c3 ]} xm+3 +
.
.
.
.
.
.
+ · · · + {an [(m + n) (m + n − 1) + b0 (m + n) + c0 ] + an−1 [b1 (m + n − 1) + c1 ] +
an−2 [b2 (m + n − 2) + c2 ] +
an−3 [b3 (m + n − 3) + c3 ] +
+ · · · + a1 [bn−1 (m + 1) + cn−1 ] +
a0 [bn m + cn ]} xm+n = 0
(5)
Consideremos por un momento el coeficiente de a0 que aparece en la primera l´
ınea, lo denotaremos por µ(m)
µ(m) = m (m −1) + b0 m + c0
H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez
e
a
u˜

2

Universidad de Los Andes, M´rida
e

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08/02/11

Tema 4: Sistemas y Series

podemos notar que para el coeficiente de a1 en la segunda l´
ınea tenemos
µ(m + 1) = m (m + 1) + b0 (m + 1) + c0
de manera que:
para a2

⇒

µ(m + 2) = (m + 2) (m + 1) + b0 (m + 2) + c0

para a3
.
.
.

⇒
.
.
....