matematica

TECSUP - PFR

Matemática I

UNIDAD II

SISTEMA DE COORDENADAS

1.

PLANO CARTESIANO
Si trazamos en un plano dos rectas perpendiculares entre sí, este queda dividido
en cuatro regiones llamadas cuadrantes, que por convención se numeran I, II,
III, IV contados en sentido antihorario como se muestra en el figura 1; estas
rectas se llaman ejes coordenados, a su intersección se le llamaorigen y
usualmente se denota con la letra O.
Normalmente dichos ejes se trazan uno
horizontal y el otro vertical, sin embargo
a veces es necesario colocarlos en otra
posición para poder analizar más
fácilmente ciertas ecuaciones.

Y

II

El eje horizontal se le denomina eje X o
abscisas; y tiene colocados números
positivos al lado derecho y negativos al
izquierdo.

I

X

OIII

IV

El eje vertical se le denomina eje Y u
ordenadas; y tiene colocados números
positivos hacia arriba y números
negativos hacia abajo.
2.

Fig.- 1

UBICACIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO CARTESIANO
Dado un punto P en el plano trazamos una recta vertical y una horizontal que
pasen por P, llamemos a al punto de intersección de la recta vertical con el eje
X y b al punto deintersección de
la recta horizontal con el eje Y,
Y
como se muestra en la Figura 2.
(a ; b )
La
pareja
ordenada
determina de manera única el
punto P, es decir P (a ; b ) determina

un lugar único en el plano; así la
primera coordenada se llama abcisa
de P y la segunda coordenada se
llama ordenada de P.

P

b

O

X

a
Fig.-2

17

Matemática I

3.

TECSUP - PFR

DISTANCIAENTRE DOS PUNTOS

P (x 1 ; y 1 ) y Q ( x 2 ; y 2 )
Para encontrar la distancia entre dos puntos
que no estén
en la misma recta vertical u horizontal, construimos un triángulo rectángulo que
tenga al segmento PQ por hipotenusa, como en la Figura 3.
Luego las longitudes de los catetos son: x 2  x 1 y y 2  y 1

Y
y

Q (x 2 ; y 2)
2

|y 2 - y 1|

y

P (x 1 ; y 1)
1

|x 2 - x 1|x1

O

x

X
2

Fig.-3

La distancia entre P y Q es la longitud de la hipotenusa del triángulo, por el
Teorema de Pitágoras

d (P ; Q )  2  ( x 2  x 1 )2  (y 2  y 1 )2



de donde:

d (P ; Q )  (x 2  x 1 )2  (y 2  y 1 )2

Ejemplo:

Encontrar la distancia entre P (3;5) y Q (1;6)

Resolución

d (P ;Q ) 

2

( 1)  3   (6  5) 2  16  1 



17* Observa que no importa el orden en el que se tomen los puntos, ya que:

d (Q ;P ) 

2

3  ( 1)   (5  6) 2  16  1 



18

17

TECSUP - PFR

Matemática I

Ejemplo:

Encontrar la distancia entre P (3; 4) y Q (3;2)

Resolución

d (Q ;P ) 

2

3  (3)  (2  (4)) 2 



0  36 

36  6

Ejemplo:
¿Qué coordenadas tiene un punto del ejeX que equidista de: A (0;6) y B (5;1) ?
Resolución
Sea C el punto buscado, se encuentra sobre el eje X, su segunda coordenada
vale cero C (x ;0) y sólo faltaría hallar la primera.

Y
A (0;6)

d
B (5;1)

d
C (x ;0)

X

O

Como la distancia de C hasta A debe ser igual a la distancia de C hasta B,
debe cumplirse: d (C ; A )  d (C ;B )
Es decir:

(x  0)2  (0  6)2  ( x  5)2 (0  1)2

efectuando operaciones:

x 2  36  x 2  10x  25  1

elevando al cuadrado: x 2  36  x 2  10 x  26



x  1

Luego el punto del eje X que equidista de: A y B es C (1;0)

19

Matemática I

4.

TECSUP - PFR

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
4.1

PUNTO DE DIVISIÓN
Se llama así a aquel punto que divide a un segmento en una relación
dada.Consideremos los puntos A ( x 1 ; y 1 ) y B (x 2 ; y 2 ) y el segmento de recta
que determinan ambos. Sea P (x ; y ) un tercer punto de dicho segmento
que lo divida en una razón dada r, así:

AP
r
PB

Y
B (x 2;y 2)

y2

y 2- y

P (x ;y )

y

C
y-y1

y

A (x 1;y 1)
1

x-x1

O

x1

x 2- x

D
x

Por semejanza de triángulos:

X

x  x1
AD
AP


r
x2  x...