matematica

TECSUP - PFR

Matemática I

UNIDAD III

LA LÍNEA RECTA
1.

INTRODUCCIÓN
Todos tenemos la idea intuitiva de los que es una recta. Las propiedades
fundamentales de la recta de acuerdo a los axiomas de Euclides son:
1. Por dos puntos distintos pasa una y sólo una recta.
2. Dos rectas distintas se cortan en un sólo punto o son paralelas.

2.

LA PENDIENTE DE UNA RECTA
La inclinaciónde una recta que interseca el eje X es el menor ángulo, mayor o
igual que 0°, que forma la recta con la dirección positiva del eje X.
La inclinación de una recta horizontal es 0.
De acuerdo con esta definición, la inclinación  de una recta es tal que:
0    180 , o , en radianes, 0    

En la siguiente figura, la inclinación de la recta L se indica mediante flechas
curvadas. MX esel lado inicial y ML es el lado terminal.
Y

Y

L



O

M

L



X

O

M

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación, es un número
que mide que tan inclinada está la recta y hacia dónde está inclinada.

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X

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Usualmente se denota con la letra m a la pendiente; para encontrar la pendiente
de una recta novertical tomamos dos puntos P (x 1 ; y 1 ) y Q ( x 2 ; y 2 ) de la recta
y calculamos el cociente:

m 

y 2  y1
x 2  x1

Si la recta es vertical, todos los puntos de la recta tienen la misma primera
coordenada, entonces el denominador de la expresión anterior vale cero y por lo
tanto, no puede evaluarse m, así que las rectas verticales no tienen pendiente.
OBSERVACIONES
 La pendientees positiva cuando la recta está inclinada hacia la derecha.
 La pendiente es cero cuando la recta es horizontal.
 La pendiente es negativa cuando la recta está inclinada hacia la izquierda.
 Conforme el valor absoluto de la pendiente es mayor, la recta está más
inclinada.
 Una recta vertical no tiene pendiente.
Ejemplo: Observe las siguientes rectas y sus pendientes.
Y
Y
Y
P (2;7)Q (1;2)
Q (-1;3)

X

X
X
P (2;-4)

m

73
4

2  ( 1) 3

m

P (-2;-3)

4  2
 6
2 1

m

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Q (1;-3)

3  (3)
0
2  1

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RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
a) Si dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales.
b) Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares la pendiente de una de ellas es
igual al reciproco(inversa) de la pendiente de la otra con signo contrario.
Esto es, si m1 es la pendiente de la recta L1 y m
entonces:

m1 

2

es la pendiente de la recta L2

1
o bién m1  m 2  1
m2

Es la condición para que sean perpendiculares.
3.

ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO LA PENDIENTE Y UN PUNTO DE
ELLA
Consideremos el problema de encontrar la ecuación de la recta no vertical L que
pasapor un punto P (x 1 ; y 1 ) y tiene pendiente “m”.
Si Q ( x ; y ) es cualquier otro punto de la recta, se debe satisfacer:

Luego:

y  y 1  m (x  x 1 )

m

y  y1
x  x1

 (1)

Y

Q (x ; y)
P (x 1 ; y 1)
X

Esta forma de la ecuación de la recta se llama ecuación punto-pendiente de la
recta, ya que la obtuvimos conociendo la pendiente y un punto de ella, y
recíprocamentesi vemos una ecuación de ese tipo, podemos saber por qué
punto pasa la recta y qué pendiente tiene.

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Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (4; 1) y tiene pendiente -2
Resolución:

m  2

(x 1 ; y 1 )  (4; 1)

y  ( 1)  (2)(x  4)
si queremos simplificarla:

y  1  2x  8



y  2x  7

Podemos escribir laecuación de una recta de varias maneras, dependiendo de
los datos que sepamos de ella, y recíprocamente, si tenemos la ecuación de una
recta, podemos llevarla a distintas formas, y obtener de esas expresiones
distintas informaciones acerca de la recta.
4.

ECUACIÓN PENDIENTE - ORDENADA AL ORIGEN
Es cuando conocemos la pendiente m y el punto donde corta al eje Y, que
usualmente se denota con...