matematica
Observa que la compuesta F(t) depende de una única variable (t), la externa “f” depende de tres variables (x,y,t). A la vez, “x” e “y” son funciones de una variable (t). Realmente la notación de la
derivada total de la compuesta debería ser F’’ y no Ftt. Observa que este ejercicio puede hacerse
más fácilmente sin necesidad de aplicar regla de la cadena (esto es: evaluamos las funciones, obtenemos la regla de correspondencia de la compuesta F y luego derivamos). Como piden aplicar
regla de la cadena, procedemos:
F’(t) = fx (x(t), y(t), t) x’(t) + fy (x(t), y(t), t) y’(t) + ft (x(t), y(t), t) (recuerda que t’ = 1)
De aquí:
[( f (x(t), y(t), t) x’(t) + f (x(t), y(t), t) y’(t) + f (x(t), y(t), t) ) x’(t) + f (x(t), y(t), t) x’’(t)] + [(
f (x(t), y(t), t) x’(t) + f (x(t), y(t), t) y’(t) + f (x(t), y(t), t) ) y’(t) +
f (x(t), y(t), t) y’’(t) ] + [ f (x(t), y(t), t) x’(t) + f (x(t), y(t), t) y’(t) + f (x(t), y(t), t) ]
F’’(t) =
xx
yx
y
xy
yy
xt
x
yt
tx
ty
tt
En la segundan parte del ejercicio se debe calcular las derivadas externas e internas, utilizando las
reglas de correspondencia dadas para cada una de ellas. Sólo voy a desarrollar uno de los términos. Los otros se desarrollan de forma similar.
fx (x, y, t) = 5x4 + 8x3y2 ‐ 2tx fxx (x, y, t) = 20x3 + 24x2y2 ‐ 2t fxx (x(t), y(t), t) = 20 (t4 + t2 – 7t + 4)3 + 24 (t4 + t2 – 7t + 4)2 (t3‐6)2/3 – 2t
x’(t) = 4t3 + 2t – 7
y’(t) = 6 t2 (t3‐6)‐2/3
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