Matematica

Matem´ticas IV: a Respuestas de la segunda autoevaluaci´n o Antes de comenzar la evaluaci´n lea cuidadosamente: Si k es el ultimo o ´ digito de su carnet la constante s que aparece a lo largo del texto del exam´n e k o es s = [ 5 ], donde como es usual [x] denota la funci´n parte entera evaluada en el n´mero real x. Note que solo hay dos valores posibles de s que son 0 y u 1. 1/10 (6 puntos) Digacual de las siguientes es la ecuaci´n diferencial que o satisfacen las curvas C en el plano XY tales que la ordenada de un punto P en la intersecci´n de la recta tangente a C con el eje Y es o proporcional a la abcisa de dicho punto.
k 1 a) y − x y = − x y 2 . 1 b) y − x y = ky. k c) y − x y = x. 1 d) y − x y = k.

Respuesta La opci´n correcta es la d). o La recta tangente a la curva (x, f(x)) en el punto P = (x0 , y0 ) donde y0 = f (x0 ) es y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 y su corte con el eje Y es el punto (0, y0 − x0 f (x0 )) cuya ordenada es y0 −x0 f (x0 ) por tanto la relaci´n es y0 −x0 f (x0 ) = kx0 con k contante o 1 o sea y − xy = kx, es decir y − x y = −k. 2/10 (6 puntos)Dada la familia y − 2 = k(x − 1)4 indique la opci´n correcta: o a) La familia de las trayectorias ortogonales esla familia de elipses de eje mayor paralelo al eje Y y centro (2, 1). b) La familia de las trayectorias ortogonales es la familia de elipses de eje mayor paralelo al eje Y y centro (1, 2). 1

c) La familia de las trayectorias ortogonales es la familia de elipses de eje mayor paralelo al eje X y centro (1, 2). d) La familia de las trayectorias ortogonales es la familia de elipses de eje mayorparalelo al eje X y centro (2, 1). Respuesta La opci´n correcta es la c). o
y−2 Como y − 2 = k(x − 1)4 tenemos que si x = 1 entonces k = (x−1)4 y−2 y−2 y adem´s y = 4k(x − 1)3 = 4 (x−1)4 (x − 1)3 = 4 x−1 . Por tanto las a 1−x ı trayectorias ortogonales satisfacen la ecuaci´n y = 4(y−2) , as´ o

(y − 2)dy = con lo cual

−1 4

(x − 1)dx

−(x − 1)2 (y − 2)2 = +C 2 8

o sea

(x − 1)2 + (y− 2)2 = C. 4 Que para C > 0 es una elipse de eje mayor paralelo al eje X y centro (1, 2). 3/10 (3 puntos) Dada la ecuaci´n diferencial y (x) = y (x)esy(x) , indique la o opci´n correcta: o a) El cambio u = sy resuelve la ecuaci´n, y su unica soluci´n es o ´ o y = 0. b) El cambio u = y convierte la ecuaci´n en o
du dx

= eu .

c) El cambio u = y convierte la ecuaci´n en u du = uesu . o dy d) Elcambio u = y convierte la ecuaci´n en u = u que tiene como o unica soluci´n u = 0 ´ o Respuesta La opci´n correcta es c). o

2

4/10 ( 3 puntos) Dado el problema a valor inicial √ y = xy y(s + 1) = 1 indique la opci´n correcta: o
1 a) Existe soluci´n unica en el intervalo ( 2 , 3 ). o ´ 2

b) Existe soluci´n unica en el intervalo ( 3 , 5 ). o ´ 2 2 c) Ninguna de las anteriores. RespuestaLa opci´n correcta depende de s. Para s = 0 es a) y o √ para s = 1 √ b). Escribimos y = xy = f (x, y) es claro que f es y df (x,y) = 2√x son continuas en el primer cuadrante del plano (sin dy y incluir el eje X) y el teorema de existencia y unicidad dice que existe h > 0 tal que la ecuaci´n tiene soluci´n para x ∈ (s + 1 − h, s + 1 + h) o o x 3 +2 1 en ambos casos tomamos h = 2 y las soluciones sony = ( 23 )2 y √ y=(
x 3 +3−2 2 2 2 ) 3

para s = 0 y s = 1 respectivamente.

5/10 (12 puntos) Resuelva el siguiente problema tgx z − 2 z = cos x 2z z(0) = s + 1 Respuesta La ecuaci´n z − o tgx
2

z=

cos x 2z

la podemos reescribir como (1)

2zz − z 2 tgx = cos x . Sea y = z 2 entonces y = 2zz sustituyendo en (1) obtenemos y − ytgx = cos x 3

(2)

. que es una ecuaci´n linealde primer orden con factor integrante o
ln cos x =cos x, µ(x) = e− tagxdx=e

R

multiplicando por la ecuaci´n (2) (ambos miembros) obtenemos o 2 (y cos x) = (cos x) , e integrando y cos x = 1−cos 2x dx = x − sin42x + C. 2 2 xsecx sin x O sea y = 2 − 2 + C. Es decir z 2 = xsecx − sin x + C, pero z(0) = s + 1, luego (s + 1)2 = C, por 2 2 xsecx sin x 2 tanto z = − + (s + 1)2 .
2 2

(13...