Matematica

* Derivada de una función:
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En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para lavariable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximaciónlineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de unafunción se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo..
            La derivada de una función f, es una función denotada por tal que para cualquier x del dominio de f  está dada por:

si este límite existe.
            Si  es un número del dominio de f, entonces:

Si este límite existe.
            El proceso decalcular la derivada de una función se denomina derivación o diferenciación, es decir, la derivación o diferenciación es el proceso mediante el cual se obtiene a partir de f. Si una función tiene derivada en todo su dominio, se dice que es una función diferenciable.

Determine la derivada de la función 
Solución:
            Apliquemos la ecuación (B),

* Interpretación de la derivadaInterpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)
Ejemplos
Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que larecta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangentees paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

* Función compuesta y regla de la cadena
La regla de la cadena es la fórmularesultante de la derivada de la composición de funciones.

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,
 
y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

Entonces la función compuesta 
 
definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y seobtiene

Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.
Resolución:
La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2  y g(x) = sen x.

Al ser g(x) =senx, g'(x)=cosx, 
por tanto g ' [ f(x) ] = cos f(x) = cos x2

 Por la regla de la cadena,
h ' (x) = g ' [ f(x) ] · f ' (x) = 2x cos x2

* Derivada de orden superior
Si la función f es diferenciable en todo su...