Matematica

En el cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes, donde , , y pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje:




Cada uno de estos patrones es unesquema de axiomas, una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo, si A, B, y C son variables proposicionales, entonces y son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas. Puedeprobarse que con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, alguien puede probar todas las tautologías del cálculo proposicional, también puede probarse queningún par de estos esquemas es suficiente para probar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este conjunto de esquemas axiomáticos también es utilizado en el cálculo de predicados pero sonnecesarios más axiomas lógicos.

Ejemplo: Sea un lenguaje de primer orden. Para cada variable , la fórmula es universalmente valida.

Esto significa que, para cualquier símbolo variable , la fórmulapuede considerarse un axioma. Para no caer en la vaguedad o en una serie infinita de "nociones primitivas", primeramente se necesita ya sea una idea de lo que queremos decir con o un definir un usopuramente formal y sintáctico del símbolo , y de hecho, la lógica matemática lo hace.

Ejemplo: Otro ejemplo interesante, es el de la instanciación universal. Para una fórmula en un lenguaje de primerorden , una variable y un término que es sustituible por en , la fórmula es válida universalmente.

En términos informales, este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una cierta propiedadse cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra estructura, entonces deberíamos ser capaces de afirmar . De nuevo, estamos afirmando que la fórmula es válida, esto es, debemos sercapaces de dar una prueba de este hecho, o mejor dicho, una metaprueba. De hecho, estos ejemplos son metateoremas de nuestra teoría de la lógica matemática ya que nos referimos meramente al concepto...