Matematica

4.1 EJERCICIOS
1. Sea V el primer cuadrante en el plano xy; esto es, sea

a. Si u y v están en V, ¿está u + v en V? ¿Por qué?

b. Encuentre un vector específico u en V y un escalar específico tal que cu no esté en V. (Esto basta para demostrar que V no es un espacio vectorial.)

2. Sea W la unión del primer y tercer cuadrantes en el plano xy.
Esto es, sea
a. Si u está en W y c escualquier escalar, ¿está cu en W? ¿Por qué?

b. Encuentre vectores específicos u y v en W tales que u + v no esté en W. Esto basta para demostrar que W no es un espacio vectorial.

3. Sea H el conjunto de puntos que están dentro del círculo unitario en el plano xy. Esto es, sea Encuentre un ejemplo específico —dos vectores o un vector y un escalar— para mostrar que H no es un subespacio deR2.

4. Construya una figura geométrica para ilustrar por qué una línea en R2 que no pasa por el origen no es cerrada bajo la suma de vectores.

En los ejercicios 5 a 8, determine si el conjunto dado es un subespacio de Pn para algún valor adecuado de n. Justifique sus respuestas.
5. Todos los polinomios de la forma p(t) = at2, donde a está en R.

6. Todos los polinomios de la forma p(t)= a + t2, donde a está en R.

7. Todos los polinomios de grado 3 o menor, con coeficientes enteros.

8. Todos los polinomios en Pn, tales que p(0) = 0.

9. Sea H el conjunto de todos los vectores de la forma Encuentre un vector v en R3 tal que H = Gen{v}. ¿Por qué muestra esto que H es un subespacio de R3?

10. Sea H el conjunto de todos los vectores de la forma Muestre que H es unsubespacio de R3. (Use el método del ejercicio 9.)

11. Sea W el conjunto de todos los vectores de la forma donde b y c son arbitrarios. Encuentre vectores u y v tales que W = Gen{u, v). ¿Por qué muestra esto que W es un subespacio de R3?

12. Sea W el conjunto de todos los vectores de la forma Muestre que W es un subespacio de R4. (Use el método del ejercicio 11.)




13. Sean
a.¿Está w en { v1, v2,v3}? ¿Cuántos vectores hay en {v1, v2,v3}?


b. ¿Cuántos vectores hay en Gen{ v1, v2,v3}?
c.
c. ¿Está w en el subespacio generado por { v1, v2,v3}? ¿Por qué?

14. Sean v1, v2, v3 como en el ejercicio 13, y sea ¿Está w en el subespacio generado por {v1, v2, v3}? ¿Por qué?

En los ejercicios 15 a 18, sea W el conjunto de todos los vectores de la forma que semuestra, donde a, b y c representan números reales arbitrarios. En cada caso, encuentre un conjunto S de vectores que genere W o proporcione un ejemplo para demostrar que W no es un espacio vectorial









19. Si una masa m se coloca en el extremo de un resorte y se jala de ella hacia abajo y luego se le suelta, el sistema de masa resorte comenzará a oscilar. El desplazamiento yde la masa desde su posición de reposo está dado por una función de la forma y (t) = c1 cos ωt + c2 sen ωt (5) donde ω es una constante que depende del resorte y de la masa. Demuestre que el conjunto de todas las funciones descritas en (5) (con ω fija y c1 y c2 arbitrarias) es un espacio vectorial.


20. El conjunto de todas las funciones continuas con valores reales, definidas en un intervalocerrado [a, b] en R, se denota mediante C [a, b]. Este conjunto es un subespacio del espacio vectorial de todas las funciones con valores reales, definidas en [a, b].
a. ¿Qué hechos acerca de las funciones continuas deben verificarse para demostrar que C[a, b] es en realidad un subespacio vectorial como se asegura? (Por lo general, estos hechos se estudian en una clase de cálculo.)
b. Demuestreque {f en C[a, b] : f(a) = f(b)} es un subespacio de C[a, b].
Para enteros positivos fijos m y n, el conjunto Mm×n de todas las matrices de m × n es un espacio vectorial, bajo las operaciones usuales de suma de matrices y multiplicación por escalares reales.

21. Determine si el conjunto H de todas las matrices de la forma es un subespacio de M2×2.

22. Sean F una matriz fija de 3 ×...