Matematica

Cap´tulo 4 ı

Integraci´ n en variedades o
CONTENIDOS. Orientaci´ n en espacios vectoriales. Orientaci´ n en variedades. Vao o riedades orientables. Criterios de orientabilidad. Ejemplos. Difeomorfismos que conservan o invierten la orientaci´ n. Elementos de volumen y orientaci´ n. Repaso a la o o n : funci´ n integrable, teorema de Fubini y teorema del cambio de vaintegraci´ n en R o o riablespara la integral de Riemann en Rn . La integral de una n-forma continua de soporte compacto sobre una variedad orientada. Propiedades b´ sicas de la integral. Ina tegraci´ n en variedades de Riemann. Cartas y atlas en sentido generalizado. Estructuras o diferenciables en sentido generalizado. Variedades diferenciables con borde. El borde y el interior. El espacio tangente en un punto del borde.Vectores tangentes entrantes y salientes. Orientabilidad de variedades con borde y orientaci´ n inducida sobre el borde. o El teorema de Stokes para variedades orientadas. Aplicaciones: el teorema de Green en el plano y teorema de la divergencia en el espacio. Integral de l´nea de una uno-forma. ı Formas diferenciales cerradas y exactas. Grupos de cohomolog´a de De Rham. Aplicaı ciones entre losgrupos de cohomolog´a inducidas por aplicaciones diferenciables. El ı lema de Poincar´ . Cohomolog´a de De Rham de los espacios eucl´deos punteados y de e ı ı las esferas.

4.1. Orientaci´ n en variedades o
4.1.1. Orientaci´ n en un espacio vectorial o
Recordemos brevemente algunos conceptos sobre la orientaci´ n en un espacio vectorial. o Definici´ n 4.1 (Orientaci´ n de una base) o o Sea V unespacio vectorial n-dimensional y consideremos dos bases {ei } y { fi }. Se dice que estas bases tienen la misma orientaci´ n si det(αij ) > 0, donde (αij ) es la matriz del cambio de base. o Sea B el conjunto de todas las bases del espacio vectorial V . Es muy f´ cil ver que la relaci´ n tener a o la misma orientaci´ n, seg´ n la definici´ n anterior, determina una relaci´ n de equivalencia ∼ en B,y que el o u o o conjunto cociente de las clases de equivalencia est´ formado por exactamente dos clases. a Definici´ n 4.2 (Orientaci´ n de un espacio vectorial) o o Un espacio vectorial orientado es un par formado por un espacio vectorial junto con una de las dos clases de equivalencia del conjunto cociente B/ ∼. Las bases que pertenecen a esta clase se dice que est´ n a (positivamente)orientadas.

Open Course Ware – Universidad de Murcia

Geometr´a y Topolog´a – Dr. Pascual Lucas Saor´n ı ı ı

Cap´tulo 4 ı

4.1. Orientaci´ n en variedades 48 o

En ocasiones, y por abuso del lenguaje, se considera que un espacio vectorial orientado es un espacio vectorial junto con una base predeterminada, entendiendo que la orientaci´ n del espacio vectorial es la o determinada por la baseelegida. Lema 4.3 Sea 0 = Ω ∈ n (V ) un tensor covariante antisim´ trico sobre V de orden n = dim(V ), y sea {e1 , . . . , en } una e base de V . Entonces para cualesquiera vectores {v1 , . . . , vn }, con vi = ∑ αij e j , se cumple Ω(v1 , . . . , vn ) = det(αij )Ω(e1 , . . . , en ). Como consecuencia de lo anterior podemos enunciar lo siguiente. Corolario 4.4 ´ Un tensor 0 = Ω ∈ n (V ) tiene elmismo signo (o signo contrario) sobre dos bases si estas tienen la misma orientaci´ n (o distinta orientaci´ n, respectivamente). Consecuentemente, la elecci´ n de una n-forma Ω no nuo o o la determina una orientaci´ n en V . Adem´ s, dos de tales n-formas Ω1 y Ω2 determinan la misma orientaci´ n o a o si, y s´ lo si, Ω2 = λ Ω1 , donde λ > 0. o Si Ω = 0, entonces los vectores {v1 , . . . , vn } sonlinealmente independientes si, y s´ lo si, Ω(v1 , . . . , vn ) = o 0. Dado que n (V ) tiene dimensi´ n 1, el corolario anterior nos dice c´ mo podemos cambiar de orientaci´ n: o o o basta elegir la n-forma −Ω.

Un caso especial aparece cuando consideramos un espacio vectorial eucl´deo, es decir, un espacio ı vectorial dotado con un producto escalar definido positivo (a veces llamado producto...