Matematica

Copo de nieve de Koch:

El copo de nieve de Koch, también llamado estrella de Koch, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904 en un artículo titulado "Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental"
En lenguaje actual, diríamos que es una curva fractal. Suconstrucción se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia con un triángulo equilátero en el que finalmente cada uno de sus lados queda sustituido por lo que se llama una curva de Koch. La curva de Koch es un caso particular de curva de De Rham.
El proceso que lleva a sustituir cada lado por la llamada curva de Koch: Se toma un segmento, se lo divide en tres partes iguales, se remplazala parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente. La figura representa las seis primeras etapas de la construcción. La última curva es una buena aproximación de la curva final

Triangulo de Sierpinski:Alrededor de 1915, Waclaw Sierpinski construyó un conjunto cuyo perímetro es infinito y su área cero. Su construcción es la siguiente. Partiendo de un triángulo cualquiera, se dibuja un nuevo triángulo uniendo los centros de sus lados y se elimina de la figura inicial. El resultado será tres triángulos semejantes al inicial de área (cada uno) cuatro veces menor que el área inicial. Se repite la operacióncon los tres triángulos y, en general, con los triángulos que se vayan formando. El resultado será el triángulo de Sierpinski. 
Si el triángulo inicial tiene área 1, en el primer paso la figura tendrá área 3/4, en el segundo tendrá 9/16, y, en general, la figura n-ésima tendrá área (3/4)n. El triángulo de Sierpinski tiene área nula, pues (3/4)n  tiende a cero cuando n tiende a infinito. Sinembargo, si el perímetro del triángulo inicial es p, el del primer paso será 3p/2, el del segundo 9p/4, y, en general, la figura n-ésima tendrá perímetro (3/2)np, por lo que el perímetro del triángulo de Sierpinski es infinito, ya que (3/2)np tiende a infinito con n.

Curvas de Peano:
La curva de Peano, nombre en honor al matemático italiano Giuseppe Peano, es una curva que "recubre" todo el plano(específicamente, la curva es un conjunto denso del plano). Al cambiar la dimensión en su límite se sitúa en el contexto de la geometría fractal.

Las propiedades de la Curva de Peano son:
* Es continua y converge uniformemente.
* La función que define la curva es inyectiva, y es homeomorfa a un intervalo, sin embargo, su límite es de una dimensión superior.
* La curva de Peano esequipotente a la región [0; 1]x[0; 1]; sin embargo la dimensión de la curva peaniana es 1 y del cuadrado es 2.
La construcción puede generalizarse a cualquier dimensión n y pueden construirse curvas (con dimensión topológica 1) pero cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch iguala la del espacio. Esto último implica que la clausura topológica en el espacio euclídeo de dicha curva tiene un volumenn-dimensional diferente de cero.

Conjunto de Julia:
Este conjunto, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gastón Julia en los años 1920, surge como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas .
Analicemos el caso particular de funciones polinómicas de grado mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a . Al conjunto devalores de  que no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto de Julia.
Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que...