Matematica

FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y
obtener sumas de expresiones más simples.
Hay cuatro casos:
1)
2)
3)
4)

Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.
Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.
Descomposición en fracciones parciales con un factorcuadrático irreducible.
Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.

Procedimiento para:
Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.
Paso 1:
Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la
del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de
la función del numerador.Paso 2:
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales,
px  q , o factores cuadráticos irreductibles, ax 2  bx  c , y agrupar los factores
repetidos para que la función del denominador sea un producto de facto res





diferentes de la forma  px  q  , donde m  1 o ax 2  bx  c los números m y n
no pueden ser negativos.
Paso 3:
Si son Descomposiciónen fracciones parciales en la cual cada denominador es
lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.
m

n

A
B

 ...
primer factor segundo factor

Ejemplo 1:
Determinar la descomposición en fracciones parciales de:
4 x 2  13 x  9
x 3  2 x 2  3x

Primero Observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo
tanto no tengo que hacer unadivisión larga.
Segundo: Factorizar el denominador
x 3  2 x 2  3x  xx 2  2 x  3  xx  3x  1

Tercero: Colocar cada factor obtenido de la siguiente forma

4 x 2  13 x  9 A
B
C


3
2
x  2 x  3x x x  3 x  1

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
4 x 2  13 x  9  Ax  3x  1  Bx x  1  C x x  3

Podemos resolverlo pormatrices o por el método que más nos convenga :
Opero los paréntesis
4 x 2  13 x  9  Ax 2  2 x  3  Bx 2  x   C x 2  3x 

Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado asi
4 x 2  13x  9  A x 2  2 x  3  B x 2  x  C x 2  3x



4 x  13x  9  Ax
2

2

 

 2 Ax  3 A  Bx  Bx  Cx  3Cx 
2

2

4 x 2  13x  9  Ax2  2 Ax  3 A Bx2  Bx  Cx 2  3Cx
4 x  13x  9  Ax  Bx  Cx  2 Ax  Bx  3Cx  3 A
2

2

2

2

4 x  13x  9  x  A  B  C   x2 A  B  3C   3 A
2

2

Mis tres ecuaciones son:
 1A  1B  1C  4
2 A  1B  3C  13
 9  3 A
Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A
 9  3 A
9
A
3
3 A
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuacio nes
 1A  1B  1C 4
31  B  C  4
3 B C 4
BC 43
B  C 1
2 A  1B  3C  13
23  B  3C  13
6  B  3C  13
 B  3C  13  6
 B  3C  7

Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi

Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
B  C 1
 B  3C  7
4C  8
C2

B  C 1
B  2 1
B  1 2
B  1
Coloco lasrespuestas en la letra correspondiente
4 x 2  13 x  9 A
B
C
3
1
2




3
2
x  2 x  3x x x  3 x  1 x x  3 x  1

Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no
repetidos que es mucho mas fácil.
4 x 2  13 x  9 A
B
C


3
2
x  2 x  3x x x  3 x  1

Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
4 x2  13 x  9  Ax  3x  1  Bx x  1  C x x  3

Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial
x3 0
x 1  0
x0
x 1
x  3
Ahora sustituyo los valores de x
x=0
4 x 2  13 x  9  Ax  3x  1  Bx x  1  C x x  3

40  130  9  A0  30  1  B00  1  C 00  3
0  0  9  A3 1  0 B  0C
 9 ...