Matematica

GRUPO MASUNA



Autor: Prof. José Luis Gavazut Bianco





MATEMÁTICA II

(Objetivo No. 8)

(Vectores)

Vectores en [pic]

Consideremos el par ordenado [pic]. La representación geométrica de éste par ordenado en el plano cartesiano corresponde a un punto. Luego, si trazamos un segmento de recta dirigido y orientado desde el origen del sistema en la dirección del punto, obtenemosla representación vectorial de dicho par ordenado, como se muestra en la siguiente figura:

y




[pic]

[pic]




0 [pic] x

Luego, [pic], donde [pic]representan las componentes del vector [pic]


Adición de vectores


Sean [pic] dos vectoresdel plano [pic], se define la suma entre [pic]al vector [pic].
Veamos un ejemplo:
Sean [pic]. Luego, [pic]
Representemos esta situación geométricamente:

y

9


[pic]


63
[pic] [pic]





-4 -2 0 2 x

Esto es lo que se conoce como la regla del paralelogramo que permite sumar vectores geométricamente.


Propiedades de la adición de vectores




Sean [pic]tres vectores de [pic], luego:

[pic]Nota: Estas propiedades se cumplen sin importar el espacio vectorial al cual pertenezcan los vectores. Es decir, independientemente del número de componentes de los vectores.

Producto de un escalar por un vector


Consideremos el vector [pic] y el número real [pic]. Luego, se define el producto del número real [pic] por el vector [pic]como:

[pic]



Propiedades del producto deun escalar por un vector



Sean [pic]dos vectores de [pic] y [pic] dos números reales, entonces:

[pic]





Combinación lineal


Consideremos el vector [pic]. Este vector puede expresarse de la siguiente forma:

[pic]. En general cualquier vector del plano [pic]se puede expresar de ésta manera. A los vectores (1, 0); (0, 1) se les denomina vectores canónicos de [pic]y los denotamos por: [pic]. Cuando un vector [pic]se escribe de ésta forma, se dice que es una combinación lineal de los vectores canónicos.

De manera similar para el espacio vectorial [pic] los vectores canónicos son: [pic]. En general, para un espacio vectorial [pic]cualquiera, entonces sus vectores canónicos serán:

[pic]


Dependencia e independencia lineal


Consideremos losvectores [pic] de [pic]
¿Será posible expresar cualquiera de éstos vectores como una combinación lineal de los otros dos?
Tomemos, por ejemplo el vector [pic] y tratemos de expresarlo como combinación lineal de los vectores [pic].
[pic]
Resolviendo el sistema, se tiene:
De la segunda ecuación:[pic]. Sustituyendo éste valor en la primera ecuación:
[pic]. Sustituyendo los valores de ( y ( en latercera ecuación, tenemos: [pic]. Es decir, no se cumple la tercera ecuación.
Por lo tanto, no existen valores para ( y ( tales que el vector [pic] se pueda obtener como una combinación lineal de los vectores [pic]. En éste caso decimos que los vectores son linealmente independientes.

Consideremos ahora los vectores [pic] de [pic].

Veamos si es posible obtener cualquiera de éstos vectores comouna combinación lineal de los otros dos.

Tomemos, por ejemplo, el vector [pic] y tratemos de obtenerlo como combinación lineal de los vectores [pic].

Entonces, [pic]

Resolviendo el sistema, tenemos: De la segunda ecuación: [pic]. Sustituyendo éste valor en la primera ecuación: [pic].

Entonces, [pic] .

Por lo tanto, el vector [pic]se ha podido obtener como una combinación lineal...