matematica

Gu´ 1
ıa

N´ meros Naturales
u
Fundamentos de Matem´tica
a
1er Semestre de 2014
Observaci´n: N = {1, 2, 3, 4, 5, . . . . . . } y N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . . . . }
o

Sucesiones
1. Escriba una expresi´n para el t´rmino general de la sucesi´n dada
o
e
o
a)
b)
c)
d)
e)
f)

2b, 8b, 18b, 32b, . . . . . .
0, 7, 26, 63, . . . . . .
2, 8, 24, 64, . . . . . .
3, 8, 17, 32,57, . . . . . .
7
−5, 2 , −9 , 11 , −13 , . . . . . .
3
4
5
1,-2,4,-8,16,...

g) 5,9,13,17,21,...
2 3 4 5
h) , , , , ...
3 4 5 6
1 3 7 15
i ) , , , , ...
2 4 8 16
2 5 10 17
j ) , , , , ...
3 8 13 18
1
1 1 1
k ) , − , , − , ...
4 9 16 25
1
1
1
l ) 2, 1+ , 1+ , 1+ , ...
2
3
4

2. Encontrar los 10 primeros t´rminos de las siguientes sucesiones recursivas
e

a)

b)c)

d)

1
n=1
(an ) =
4an−1 + 3 · 2n n ≥ 2

1
n=1

(an ) = 0
n=2


6an−1 − 9an−2 + 2n n ≥ 3

1
n=1

(an ) = 5
n=2

5a
n−1 − 6an−2 n ≥ 3

1
n=1

(an ) = 2
n=2


6an−1 − 9an−2 n ≥ 3

e) (an ) =

1
n=1
an−1 + (n + 1) n ≥ 2

−1
n = 1, 2
an−1 + an−2 − 3 n ≥ 3

2
n=1
1
g) (an ) =

n≥2
3 − an−1

n − 2

n es par
2
h) (an ) =
(n + 1)
−
n es impar
2
f ) (an ) =

3. Conjeture una expresi´n no recursiva para las siguientes sucesiones
o
g) (an ) =

a) (an ) =
b) (an ) =

−5
2 + an−1

n=1
n≥2

h) (an ) =

1
n=0
an−1 + 2n + 3 n ≥ 1

c) (an ) =

1
n + an−1

n=1
n≥2

i ) (an ) =

3
n=0
2
an−1 + 3n − n n ≥ 1

j ) (an ) =

1
2an−1 + 2n

k ) (an ) =

1
an−1 + 3n

l ) (an ) =1
3an−1 + 5n−1

d ) (an ) =

2
1
(an−1 )2

n=1
n≥2

5
n=0
an−1 + 1 n ≥ 1

3
2an−1

n=1
n≥2


5

e) (an ) = 3


3an−1 − 2an−2
f ) (an ) =

n=1
n=2
n≥3

1
n=0
n
an−1( n+1 ) n ≥ 1

n=0
n≥1
n=0
n≥1
n=0
n≥1

4. Para n ∈ N, encuentre una f´rmula para cada t´rmino general dado por las
o
e
siguientes sumas
1
1 1
+ + · · · + n−1
2 4
2
b) sn = 1+ 2 + 3 + 4 + · · · + n
1
2
3
n
c) sn = 2 + 2 + 2 + · · · + 2
n
n
n
n

a) sn = 1 +

5. Una part´
ıcula se mueve de manera horizontal y la distancia que recorre en
cada segundo es igual a 3 veces la distancia recorrida en el segundo anterior.
Encontrar una sucesi´n recursiva para an , donde an representa la posici´n
o
o
en el segundo n-´simo.
e

Progresiones Aritm´ticas (P.A.)y geom´tricas (P.G.)
e
e
1. Escribir el t´rmino general an de las siguientes P.A.
e
a) 10, 8, 6, 4, . . .
b) 90, 78, 66, . . .
2
4 5
c) , 1, , , . . .
3
3 3

2. Encontrar el t´rmino general de una P.A. si se sabe que el a5 = 6 y a13 = 15.
e
Encontrar el t´rmino que ocupa el lugar 51 en la progresi´n y la suma de los
e
o
primeros 51 t´rminos de esta P.A.
e
3. Determinar 3n´meros en P.A. tal que su suma es 36. Si al primero se le
u
resta 1, al segundo se le resta 2 y al tercero se le suma 2, se obtiene una P.G.
en el mismo orden ¿cu´les son los n´meros?
a
u
4. Si el primer t´rmino de una P.G. es 6 y la suma de los 3 primeros es 18,
e
¿cu´l es el t´rminos general?
a
e
5. Intercalar 3 n´meros entre 5 y 3125 de manera que est´n en P.G.
u
e
6. En una sala decine la primera fila esta a 8 m de la pantalla y la sexta fila
esta 12.8 m ¿En qu´ fila est´ una persona, si su distancia a la pantalla es de
e
a
23 m? (Ayuda: Asuma que la distancia de las filas con la pantalla
forma una P.A.).
7. En una plantaci´n de ´rboles, hay 60 filas de ´rboles. Si cada fila tiene dos
o
a
a
a
´rboles m´s que la anterior y en la fila 27 hay 59 arboles ¿cuantos arboles
a´
´
tiene la primera y la ultima fila? ¿cuantos ´rboles hay en total?
´
a
8. En una P.G el tercer t´rmino es 200 y el quinto t´rmino es 8. Obtener el
e
e
t´rmino general y la suma de los 10 primeros t´rminos de esta P.G.
e
e
9. ¿Qu´ grosor alcanzar´ una hoja de 0.2 mm, si se pudiera doblar 50 veces?
e
a
10. Un tablero de ajedrez tiene 64 casilleros. Si se coloca un grano en el...