matematica

Tasa y factor de Crecimiento
Denominamos como (tasa y factor de crecimiento) a aquellos dos elementos implícitos en lo que respecta a una función que ilustra una variación exponencial, más concretamente se refiere a la base y al exponente de una función con crecimiento exponencial.
Por el lado del factor de crecimiento nos referimos como aquel factor (base) constante por el cual se multiplicacada (elemento del dominio) mediante una exponente de una manera permanente a lo largo de un crecimiento exponencial definido.
Básicamente se ilustra a aquella constante “a” del tipo de función: , que puede representar un crecimiento exponencial para cualquier elemento del dominio a fin de conocer el resultado de la puesta en función (es decir f(x)).
Contrariamente nos referimos como tasa decrecimiento a aquel exponente del tipo de función dada en donde por lo general ilustra alguna porción ya sea de la población, interés, etc. (porcentaje en formato decimal) dependiendo la aplicación del problema.
Tal fue posible observarse en el ejemplo utilizado en los temas Obtención de la expresión analítica y Variación exponencial.
La expresión crecimiento exponencial se aplica a unamagnitud M tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo que implica que crece muy rápidamente en el tiempo de acuerdo con la ecuación:


Donde:
Mt es valor de la magnitud en el instante t > 0;
M0 es el valor inicial de la variable, valor en t = 0, cuando empezamos a medirla;
r es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurridoentre t = 0 y t > 0;
e = 2,718281828459...
La expresión se refiere al crecimiento de una función exponencial de la forma  con . Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la última ecuación a = 2 y x un valor entero. Por ejemplo, si x = 4, entonces y = 2x2x2x2 = 16. Si x= 10 entonces y = 1.024. Y así sucesivamente
Ecuaciones diferenciales
El crecimiento es exponencial cuando elcrecimiento de la función en un punto es proporcional al valor de la función en ese punto, lo que se puede expresar en mediante la ecuación diferencial de primer orden:

Donde  es el valor inicial de la magnitud cuyo crecimiento exponencial se está estudiando (es decir, el valor de la magnitud para t = 0). La solución esta ecuación (1) para cualquier instante de tiempo posterior es simplemente:Para t > 0 puede verse que  (siempre y cuando el crecimiento sea positivo r > 0).
Catástrofe malthusiana.
La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista político conservador Thomas Robert Malthus y la visión pesimista del crecimiento de población expuesta en su obra Ensayo sobre el principio de la población. Las tesis de Malthus aunque desajustadas a los hechos, tuvieron graninfluencia política. Malthus llegó a afirmar que el crecimiento de la población libre de contenciones era un crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos según su argumento era un crecimiento lineal. Puesto que la tasa de crecimiento de la población era más acelerada que la de alimentos a partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que habría una escasez de alimentos yuna gran hambruna hacia mediados del siglo XIX. La gran hambruna predicha por Malthus jamás se produjo mostrando que los presupuestos lógicos de Malthus eran simplistas y en ocasiones hasta erróneos.
Expresado en ecuaciones diferenciales el argumento de Malthus era el siguiente. Si P(t) es la población en el año t y A(t) la cantidad total de alimentos las hipótesis de crecimiento lineal yexponencial son:

La solución de las dos ecuaciones anteriores lleva a que la cantidad de alimento por persona viene dada por:

Donde P0 es la población inicial y A0 es la cantidad inicial de alimentos. Supongamos ahora que la cantidad mínima de alimentos o ingesta mínima por persona es amin, entonces si las hipótesis de Malthus hubieran sido correctas para todo instante del tiempo, la...