Matematica

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FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS - UNLP
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MATEMATICA I - Modelos de Examen Final - Prof. Titular: Dr. Oscar Barraza
MODELO 1
1. Considerar la funci´n f : A → IR dada por f (x) = (x2 − 3)2x .
o
(a) Calcular el mayor dominio A ⊂ IR de la funci´n f .
o
(b) Encontrar la ecuaci´n de la recta tangente al gr´fico de f en (2, f (2)).
o
a
(c) Explicar brevemente por qu´ se debi´ calcular f (2)para hacer el inciso anterior. Interpretar geom´tricamente.
e
o
e
(d) Indicar al menos dos reglas de derivaci´n que se debieron aplicar para hallar f (2).
o
(e) Eligir una de estas dos reglas de derivaci´n, enunciarla correctamente y demostrarla.
o
x

o
2. (a) Sin resolver la integral, encontrar la derivada de la funci´n F (x) =

(t2 −9).e−t dt. Justificar el procedimiento mediante0

la aplicaci´n correcta del Teorema Fundamental del C´lculo Integral. ¿Cu´l es el valor de F (0)?
o
a
a
(b) Encontrar extremos locales e intervalos de crecimiento y de decrecimiento de F (x).
(c) Demostrar el Teorema Fundamental del C´lculo Integral.
a
(d) Calcular F (x) resolviendo la integral que la define.
3. Una funci´n f : [1, +∞) → IR que satisface simult´neamente las siguientespropiedades:
o
a
• x = 3 es as´
ıntota vertical y f (3) = 3.
• En 2, 4 y 6 f tiene puntos de inflexi´n.
o
+∞
•
f (x) dx es convergente.
4

•
•

f (x) > 0 para todo x ≥ 1.
f alcanza en x = 5 un m´ximo local.
a

(a) Realizar el gr´fico de una posible funci´n f .
a
o
(b) ¿En qu´ punto del dominio f debe alcanzar necesariamente un m´
e
ınimo local?
4. (a) Hallar las derivadasparciales de la funci´n de dos variables f (x, y) = 4xy : IR2 → IR y evaluarlas en el punto (3, 2).
o
o
e
(b) Dar la definici´n de las derivadas parciales de z = f (x, y) en el punto (3, 2). Interpretar geom´tricamente.
(c) Utilizando multiplicadores de Lagrange hallar los puntos cr´
ıticos de z = 4xy sujeta a la restricci´n 2x + 4y = 8.
o
MODELO 2
x
mediante DOS m´todos diferentes.Identificar a esos m´todos.
e
e
−1
(b) Enunciar y demostrar el m´todo de integraci´n por sustituci´n.
e
o
o

1. (a) Calcular primitiva de f (x) =

x2

+∞

x
dx es impropia y determinar si es convergente o divergente.
x2 − 1
2
(d) Explicite el procedimiento empleado en el apartado anterior.
(c) Indicar por qu´ la integral
e

2. Las variables “x” e “y” est´n vinculadas por la relaci´nxy 2 + yx2 = ex+y − 1, para valores de (x, y) cercanos a (−1, 1).
a
o
(a) Calcular y (−1). Comprobar los supuestos necesarios.
o
ıcita y(x) un m´ximo o un m´
a
ınimo en x = −1? Justifique su conclusi´n mediante la aplicaci´n de
o
o
(b) ¿Toma la funci´n impl´
los conceptos te´ricos correspondientes.
o
(c) Construir la ecuaci´n de la recta normal al gr´fico de la funci´n impl´
o
a
oıcita y(x) en el punto (−1, 1).
(d) Justificar la construcci´n de esa recta normal.
o
3. (a) Hallar la elasticidad de la funci´n de consumo C(p) = p.e−3p . ¿Para qu´ valores de p, C(p) es inesl´stica?
o
e
a
o
(b) Definir la elasticidad de una funci´n f . Explicar las ventaja que tiene frente a la derivada f . Dar interpretaciones.
(c) Enunciar y justificar alguna de las propiedades que presentala elasticidad de una funci´n aplicadas en el inciso a).
o
o
a
4. Una funci´n f : (−2, 6) → IR que satisface simult´neamente las siguientes condiciones:
• limx→−2+ f (x) = +∞.
• f tiene un unico m´
´
ınimo local en (0, 1)
• f tiene un unico punto de inflexi´n en (1, 3).
´
o

• limx→6− f (x) = −∞.
• f tiene un unico m´ximo local en (3, 4).
´
a
• f es derivable y f es continua.(a) Realizar el gr´fico de una posible funci´n f .
a
o
(b) ¿Cu´l es la imagen de f ?
a
(c) Calcular el valor de f (3). Enunciar y demostrar el teorema que justifica este valor.
(d) Aplicando un resultado te´rico justificar que f crece en [0, 3].
o

MODELO 3
1. (a) Calcular primitiva de f (x) = x2 . ln(2x).
(b) Enunciar y demostrar el m´todo de integraci´n empleado en el apartado...