Matematica

Cap´ ıtulo 5 Aplicaciones de la Integral
5.1. Introducci´n o

Veremos que la interpretaci´n geom´trica de la integral definida, tiene varias aplicao e ciones.

5.2.

C´lculo de ´reas de regiones planas a a

Veremos en este cap´ ıtulo aplicaciones de la integral definida. As´ calcularemos al ´rea ı, a que hay entre curvas y algunas aplicaciones en la Econom´ Utilizaremos para tal efecto ıa.las t´cnicas de integraci´n vistas en los dos cap´ e o ıtulos anteriores.

5.3.

Area de regiones planas en coordenadas cartesianas

En el cap´ ıtulo anterior hemos visto que cuando una funci´n f continua definida en el o intervalo [a, b] tiene valores no negativos, su integral se interpreta como el ´rea de la regi´n a o que est´ debajo de su gr´fica. Resolveremos ahora un problema m´sgeneral, calcular el a a a ´rea de la regi´n comprendida entre las gr´ficas de dos funciones f y g. Consideraremos a o a dos casos: cuando las gr´ficas de f y g son como las de la figura de la izquierda, y cuando a las gr´ficas de f y g son como las de la segunda figura a

5

4

3

2

1

-4

-3

-2

-1 -1

1

2

3

4

-2

-3

y
y 4

3

2

1 x -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5-2

-3

-4

Definici´n 5.1. Supongamos que f y g son dos funciones continuas definidas en el o intervalo [a, b] tales que f (x) ≥ g (x) ∀x ∈ [a, b]. Si R es la regi´n limitada por las o gr´ficas de f y g entonces el ´rea A (R) de esta regi´n se define por a a o
b

A (R) =
a

[f (x) − g (x)] dx.

Observaci´n 5.2. N´tese que no se exige que las funciones sean no negativas. o o Ejemplo5.3. Hallar el ´rea de la regi´n limitada por las curvas y = x3 y y = x2 − x en a o el intervalo [0, 1]. a o Ejemplo 5.4. Hallar el ´rea de la regi´n limitada por las curvas y = x2 − 9 y y = 3 − x. 2

Ejemplo 5.5. Calcular el ´rea de la regi´n limitada por las curvas x2 +y 2 = 2x, x2 +y 2 = a o 4x, y = x, y = 0. Definici´n 5.6. Supongamos que f y g son dos funciones continuas definidas en el ointervalo [c, d] tales que f (y) ≥ g (y) ∀y ∈ [c, d]. Si R es la regi´n limitada por las o gr´ficas de f y g entonces el ´rea A (R) de esta regi´n se define por a a o
d

A (R) =
c

[f (y) − g (y)] dy. y x=

a o Ejemplo 5.7. Hallar el ´rea de la regi´n limitada por las curvas x + y = 3 2 4 − (y − 1) .

Ejemplo 5.8. Hallar el ´rea de la regi´n limitada por la par´bola x = 4y − y 2 y la recta a oa x = 2y − 3. Ejemplo 5.9. Hallar el ´rea limitada por las curvas x = y 2 − 2y − 2 y x = −y 2 + 2y + 2. a

5.4.
5.4.1.

Marginalidad. Aplicaciones
Excedente de los consumidores y de los productores

La integral definida, desde el punto de vista de su interpretaci´n geom´trica como la o e determinaci´n del ´rea de una regi´n, tiene aplicaciones en la Econom´ Sea p = f (x) o a o ıa. la curvade demanda de cierto art´ ıculo x y p = g (x) la curva de oferta del art´ ıculo x. El equilibrio del mercado (x0 , p0 ) es el punto de intersecci´n de las curvas; lo que significa que o el precio p0 por unidad es el precio al cual los consumidortes est´n dispuestos a comprar a y los productores a vender el mismo n´mero x0 de unidades del art´ u ıculo. Consideremos la figura siguiente.

EC EP 0 x0x

En la gr´fica el ´rea de la regi´n EC se conoce con el nombre de excedente o super´vit a a o a del consumidor; este est´ dado por a
x0 x0

A (EC) =
0

(f (x) − p0 ) dx =
0

f (x) dx − p0 x0 .

3

El ´rea de la regi´n EP se conoce con el nombre del excedente o super´vit del productor a o a y est´ dado p`r a o
x0 x0

A (EP ) =
0

(p0 − g (x)) dx = p0 x0 −
0

g (x) dx.a Ejemplo 5.10. Las funciones de oferta y demanda de cierto producto est´n dadas por O : p = f (x) = 52 + 2x y D : p = g (x) = 100 − x2 . Hallar el excedente del consumidor y el del productor, si hay equilibrio en el mercado. Soluci´n. Resolviendo el sistema de las dos ecuaciones se encuentra que el punto de o equilibrio es E (6, 64). Por tanto
x0 6

A (EC) =
0

(f (x) − p0 ) dx =
0 6...