matematica

 Número reales


Recta real
En matemáticas los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifrasdecimales aperiódicas, tales como: , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII

1. Conjunto abierto

Un conjunto abierto, en topología y otras ramas de las matemáticas, es un conjunto en el que todos y cada uno de sus elementos están rodeados por otros elementos que también pertenecen al conjunto;1 o dicho de una manera más intuitiva, que cualquier elemento delconjunto nunca puede llegar a tocar la frontera del conjunto, pues siempre habrá más elementos entre él y dicho borde. En términos más rigurosos se dice que en cualquier elemento del conjunto puede centrarse una bola abierta que está totalmente contenida en el conjunto.2 Se puede generalizar el concepto de ‘bola’ como los elementos que están muy cerca de otro en cualquier dirección, rodeándolo,pero para ello es necesario definir una función distancia que permita evaluar la lejanía o cercanía entre los objetos del conjunto, constituyendo así un espacio métrico
. Sea  un espacio métrico . Se dice que  es un conjunto abierto si para todo  existe una bola abierta .32. Conjunto abierto.
Un conjunto C es abierto, si y sólo si, todos sus puntos son interiores.




1) El conjunto ℝes abierto pues todos sus puntos son interiores.
2) El intervalo abierto ( )

1 es un conjunto abierto, porque, todos los puntos de
dicho intervalo son interiores. Recuerde que los números 5
9
− y 1 no pertenecen
al conjunto.
3) El intervalo [4;7) no es abierto, ya que, cualquier entorno de 4 no está
totalmente incluido en [4;7 .)
Es de observar que el conjunto ℝ de los númerosreales es un conjunto abierto y
cerrado. Igualmente el conjunto vacío ∅ es un conjunto abierto y cerrado. Los intervalos



2. Conjunto cerrado.

Un conjunto al cual pertenecen todos sus puntos de acumulación se denomina
cerrado. Es decir, un conjunto es cerrado, si y sólo si, le pertenecen todos sus puntos de
acumulación.
C es cerrado ⇔ (a punto de acumulación de C ⇒ a ∈C )Conjunto acotado
Sea  una conjunto de números reales. Decimos que el conjunto  está acotado si está acotado superior e inferiormente.

Todo conjunto  finito es acotado.
Consideramos el conjunto  de la siguiente manera:  con  por ser  finito. Procedemos ahora por inducción sobre  para comprobar que todos los conjuntos  escritos de esta manera -es decir, finitos- son acotados:
Para  setiene  que es trivialmente acotado.
Supongamos cierto el paso  y probemos el caso :
Ahora tenemos que el conjunto C es el siguiente: . Por hipótesis de inducción  es acotado, luego es acotado superior e inferiormente. Si ahora unimos con un conjunto que tiene un solo elemento estamos repitiendo la construcción empleada en las demostraciones anteriores, luego este nuevo conjunto es acotadosuperior e inferiormente y, por tanto, es acotado. Y vemos que todo conjunto finito es acotado.
Decimos que el conjunto  está acotado superiormente si existe algún  cumpliendo . A este valor  lo llamamosCota superior de S.

Proposición: Si un conjunto  tiene una cota superior, esta no es única.
Prueba: Procedamos por reducción al absurdo:
Sea  una cota superior de , supongamos que  es único. Porser  cota superior, se cumple . Consideremos ahora el conjunto . Puesto que  es la única cota superior de ,  es el mayor de todos los elementos de , y no existe ningún  siendo cota superior de , pues de existir, lo sería también de  y hemos supuesto que sólo había una cota superior para . Luego no existe  cumpliendo  ya que de existir, sería cota superior de  y hemos dicho que  no está acotado...