Matematica

Pag 13, ejercicio 1
b)
n=1∞-1n+1n+23n2+5
Análogamente por el teorema de LEIBNITZ esta serie converge
Veamos que pasa con
n=1∞-1n+1n+23n2+5
Aplicando el criterio de la razón:
an=n+23n2+5an+1=n+33(n+1)2+5
an+1=n+33n2+6n+8
limn→∞an+1an=limn→∞n+33n2+6n+8n+23n2+5
limn→∞n+33n2+5n+23n2+6n+8= lim1+3n3+5n21+2n3+6n+8n2=1
∴no se concluye nada, luegon=1∞-1n+1n+23n2+5 convergecondicionalmente
TEOREMA DE LA CONVERGENCIA ABSOLUTA
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USAR EL TEOREMA PARA HALLAR LA CONVERGENCIA
1)
n=1∞-1n+1n2=n=1∞an
Definimos:
n=1∞an=n=1∞1n2, esta serie converge por resultados anteiores,para serie p=2
→la serie n=1∞an converge
luego n=1∞an converge

2)
n=1∞-1n-1nP= n=1∞an
Definimos:
n=1∞an=n=1∞1nP , esta seria converge para p>1
→Para p>1 la serian=1∞an converge
parap≤1 la serie n=1∞an no se afirma nada
3)
n=1∞-1nn2+14n2+1=n=1∞an
Definimos:
n=1∞an=n=1∞n2+14n2+1
Analizamos la convergencia de esta serie, se puede ver que:
limn→∞n2+14n2+1=limn→∞1+1n2 4+1n2=14≠0
Luego la serie:
n=IN∞an diverge
n=1∞an no se puede afirmar nada

Pág. 15
SERIES DE POTENCIA
PARA QUE VALORES DE “X” CONVERGE LAS SIGUIENTES SERIES DE POTENCIA
a)
n=1∞xnn
Sea:
an=xnn→ an+1=xn+1n+1
limn→∞xn+1n+1xnn = limn→∞(xn+1)(n)(n+1)(xn)
limn→∞x.nn+1=xlimn→∞11+1n=x
para que converga por el criterio de la razon z<1
b)
n=1∞n!xn
Sea
an=n!xn →an+1=n+1!xn+1limn→∞n+1!xn+1n!xn
limn→∞n+1x=xlimn→∞n+1
Para x=0, la serie converge
c)
n=1∞1n2 xn
Sea:
an= 1n2xn→an+1= 1n+12xn+1
Luego:
limn→∞xn+1n+12xnn2
limn→∞xn+1.n2n+12.xn=xlimn→∞n2n+12xlimn→∞n2n2+2n+1=Xlimn→∞11+2n+1n2
x
Para que converga x<1
d)
n=1∞n6n.xn
an=n6n.xn→an+1=n+16n+1.xn+1
limn→∞n+1xn+16n+1n.xn6n=limn→∞6n.n+1xn+16n+1.n.xn
limn→∞n+1x6n
x6limn→∞n+1n
x6limn→∞1+1n= x61
x6<1-------------------------------------------------
x<6, para que la serie converga
2)
n=1+∞(arctan1n-arctan1n+1)
Sn=arctan1-arctan12+arctan12-arctan13+arctan13-arctan14+…+arctan1n-arctan13n+1...