Matematica

C u r s o : Matemática Material N° 015
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12 UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS
DEFINICIONES CIRCUNFERENCIA: Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto O. Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta ( OC). CUERDA: Trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia ( DE ). DIÁMETRO: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia ( BC ). SECANTE: TANGENTE: ARCO: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia ( PQ ). Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto ( TM ). T punto de tangencia. Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella( CE ). ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma ( DOE). D O E H ÁNGULO INSCRITO: B P D

r O

0: Centro r: Radio C(O,r) = (O,r)

RADIO:

cuerda diámetro secante

E
arco

O

radio

C A Q M

T
tangente

suu r

suur

Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de susrayos son cuerdas de ésta ( GHF).

G F

EJEMPLO

1.

¿Cuál(es) de las siguiente opciones es falsa? A) B) C) D) E) El diámetro de una circunferencia es el doble que la de su radio La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro En circunferencias congruentes los radios son congruentes Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro Por tres puntoscualesquiera siempre pasa una circunferencia

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO

D
α O

En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco.
DE =
TEOREMA

E

DOE = α

Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. C D β β E 1 0 β 0 0 β= α α 2 α α
A BA B A B

O :centro de la circunferencia

EJEMPLOS

1.

En la circunferencia de centro O (fig. 1), AB es diámetro. Entonces, el valor de α es
A) B) C) D) E) 10º 20º 40º 80º 140º A B O α
20

Fig. 1 C

2.

En

la

circunferencia

de

centro

O

(figura

2), x es

se

cumple

que

BA

≅

DC

y

AED + BC = 3 AB . Entonces, la medida del

A) B) C) D) E)45º 60º 72º 84º 90º

C B x A D O E Fig. 2

2

TEOREMA

Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida

α=β

β α B A

TEOREMA

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

C
O: centro de la circunferencia

ACB = 90º

A

0

B

EJEMPLOS

1.

En el cuadrilátero inscrito en la circunferencia de lafigura 1, α - β = 120º.

Si γ =

¿cuánto mide el ángulo x? A) B) C) D) E) 30º 75º 105º 150º 155º

α , 2

A α B γ β C x D Fig. 1

2.

En

la

circunferencia

de centro O de la figura 2, AB ADC = 3m - 10, entonces x +

es diámetro y CA ≅ BD . y=

Si CA = 3m + 10 y el

A) B) C) D) E)

170º 160º 150º 140º 120º

C

y

D
x

A

O

B

Fig. 2

3

TEOREMA

Si unradio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces la dimidia y viceversa.

O
OD ^ AB Û AC ≅ CB

A
TEOREMA

C

B

D

Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces dimidia al arco que subtiende la cuerda y viceversa.
OD ^ AB Û

¼ ¼ AD ≅ DB

EJEMPLOS

1.

En la circunferencia de centro O de la figura 1, OD ⊥ AB . Si AC = 4 cm, OC =DC =

3 BC y 4

1 BC , entonces OD mide 2 O C D B Fig. 1

A) B) C) D) E)

2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 10 cm

A

2.

En la circunferencia de centro O de la figura 2, AD = DC . Si entonces α mide A) B) C) D) E) 18º 36º 54º 72º No se puede determinar

R CBD = 4α y R DCB = α,

O A D B C

Fig. 2

4

TEOREMA

La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el...