matematica

Independencia De La Trayectoria

A una curva regular parte por parte con extremos A y B se le llama a veces trayectoria de A a B. a continuación se obtienen condiciones bajo las cuales una integral de línea es independiente de la trayectoria en una región, en el sentido de que si A y B son puntos arbitrarios, entonces se obtiene el mismo valor para todas las trayectorias de A a B en esa región.Si la integral de línea ∫c f (x, y, z) ds es independiente de la trayectoria, se denota a veces por ∫BA f (x, y, z) ds porque el valor de la integral depende sólo de los extremos A y B de la curva C. 
El siguiente teorema, que es el resultado fundamental, dice que si un campo F es continuo, entonces la integral de línea ∫c F . dr es independiente de la trayectoria si y sólo si F esconservativo.
Función potencial
Si F (x, y, z) = M (x, y, z) i + N (x, y, z) j + P (x, y, z) k es continuo en una región D abierta y conexa, entonces la integral ∫c F . dr es independiente de la trayectoriasi y sólo si F (x, y, z) = (gradiente) f (x, y) para alguna función escalar f.
Integral independiente de la trayectoria
Sea (x, y, z) = M (x, y, z) i + N (x, y, z) j + P (x, y, z) k continuo enunaregión abierta y conexa D, y sea C una curva regular parte por parte en D con extremos A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2). Si F F (x, y, z) = (gradiente) f (x, y), entonces
∫c M(x, y)dx + N(x, y)dy + P(x, y, z) dz = ∫ F . dx
= f(x2, y2) – f (x1, y1) = f (x, y)]
Calcular la integral independiente de la trayectoria
La integral de línea  es independiente de la trayectoria de integración desdeelpunto P hasta el punto Q si el campo vectorial satisface la ecuación  donde  es una función escalar continua o función potencial.
1. Campos vectoriales y escalares
Campos vectoriales. Un campo vectorial es en Rn es una aplicación F:ARn → Rn que asigna a cada punto x de su dominio A un vector F (x). Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano, y si n = 3, F es un campo vectoriales del espacio.Visualizar F adhiriendo una flecha a cada punto (Fig. 4.3.1). En contraste, una aplicación f:A Rn → R que asigna un número a cada punto es un campo escalar. Un campo vectorial F (x,y,z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F1, F2 y F3, así que
F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)).
De manera análoga, un campo vectorial Rn tiene n componentes F1, ..., Fn. Si cada componentees una función Ck, decimos que el campo vectorial F es de clase Ck. Se dará por hecho que los campos vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que se diga lo contrario.

Figura 4.3.1 Un campo vectorial F asigna un vector F (x) a cada punto x de su dominio.
Ejemplo 1
Realizar la descripción del campo vectorial F dado por F (x, y) = -yi + xj.
Solución
La siguiente tabla muestra lossectores F (x, y) asociados a varios puntos (x, y) señalados en la figura 18.5.
(x, y)
F(x, y)
(1,3)
- 3i +j
(-3,1)
-i – 3j
(-1, -3)
3i - j
(3,-1)
i + 3j
(x, y)
F(x, y)
(1,1)
- i +j
(-1,1)
-i - j
(-1, -1)
i - j
(1,-1)
i + j

Figura 18.5 Figura 18.6
Para llegar a una descripción de un campo vectorial F se considera un punto arbitrario K (x, y) y se define el vector de posición r= xi + yj de K (x, y) (véase la figura 18.6). Se ve que F (x, y) es ortogonal a r y por lo tanto, es tangente a la circunferencia de radio ||r|| con centro en el origen. Este hecho puede demostrarse probando que r . F (x, y) = 0, como sigue:
r . F (x, y) = (xi + yj) . (- yi +xj)
= -xy + yx = 0.
Además,
|| F (x, y) || = √y2 + x2 = || r ||
Por lo tanto, la magnitud de F (x, y) es igual al radiode la circunferencia. Esto implica que cuando el punto K (x, y) se aleja del origen, la magnitud de F (x, y) aumenta como sucede en el caso de la rueda giratoria de la figura 18.1
La siguiente definición presenta uno de los campos vectoriales más importantes de la física.
Definición (18.2).
Sea r = xi + yj + zk el vector posición de un punto K (x, y, z). Se dice que un campo vectorial F...