Matematica

Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería

Departamento de matemática Matemática intermedia 1

Proyecto 1
Fecha de entrega: miércoles 19 de septiembre de 2012 Introducción:

El desarrollo de proyectos de grupo, es importante para la formación del estudiante ya que le permite interactuar con sus compañeros en la solución de problemas, los cuales requieren el uso derecursos tecnológicos para su solución. Para resolver los problemas, el grupo de estudiantes debe realizar un análisis matemático y realizar cálculos utilizando el software que consideren conveniente. Entre los programas que puede utilizar están: Scientific Notebbok, Mathematica, Maple, derive, Mathlab, etc. El informe debe ser presentado utilizando un procesador de textos, en cuyo caso debenimportarse los resultados del programa matemático o bien editando completamente el informe con el editor que incluyen algunos programas como Scientific Notebook, Mathematica y Maple.

Problema 1: Criptografía Muchas veces en el mundo de la informática, se necesita enviar mensajes encriptados que sean difíciles de desencriptar por personas a las que no se les quiere dar la información, pero que si lo seapor las personas que lo deben recibir. Si bien es cierto que hay muchas formas de encriptar, en la mayoría de los casos se usa el álgebra de matrices para hacerlo. Se dará a continuación un ejemplo muy eficaz que se trabajará utilizando una matriz código cuadrada y pequeña cuando los mensajes son muy grandes. Se escoge un matriz M que tenga inversa, la cual solo debe ser conocida por las personasque lo envían y las personas a las que envían el mensaje. Ejemplo: Si queremos encriptar el mensaje “La vida es la suma de todas sus elecciones. ” reemplazamos cada letra del mensaje por el numero que le corresponde en el abecedario A=1 H=8 Ñ=15 U=22 B=2 I=9 O=16 V=23 C=3 J=10 P=17 X=24 D=4 K=11 Q=18 Y=25 E=5 L=12 R=19 Z=26 F=6 M=13 S=20 G=7 N=14 T=21

Dándole al espacio en blanco el cero (0),al punto el 27, a la coma el 28, y a las comillas 29

En este caso tenemos: 12, 1, 0, 23, 9, 4, 1, 0, 5, 20, 0, 12, 1, 20, 22, 13, 1, 0, 4, 5, 0, 21, 16, 4, 1, 20, 0, 20, 22, 20, 0, 1, 3, 3, 9, 16, 14, 5, 20, 27, 0. La lista de números obtenida debe ser ordenada como una matriz de dos filas y las columnas que sean, colocando los números en mismo orden (nótese que se van formando las columnas),así:

12 0 9 1 5 0 1 20 13 0 5 21 4 20 20 20 1 3 16 5 27    1 23 4 0 20 12 0 22 1 4 0 16 1 0 22 0 3 9 14 20 0    

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Matemática intermedia 1

La matriz anterior será multiplicada por la izquierda por M en este caso producto a realizar es:

 0 2 M =  3 4  por lo que el   

12 0 9 1 5 0 1 20 13 0 5 21 4 20 20 20 1 3 16 5 27  M •  1 23 4 0 20 120 22 1 4 0 16 1 0 22 0 3 9 14 20 0    
Al realizar el producto nos queda el mensaje encriptado que es el producto de matrices resultante

 2 46 8 0 40 24 0 44 2 8 0 32 2 0 44 0 6 18 28 40 0    40 92 43 3 95 48 3 148 43 16 15 127 16 60 148 60 15 45 104 95 81   
La cual será enviada como un simple listado de números sin ninguna relación aparente. 2, 40, 46, 92, 8, 43, 0, 3, 40, 95,24, 48, 0, 3, 44, 148, 2, 43, 8, 16, 0, 15, 32, 127, 2, 16, 0, 60, 44, 148, 0, 60, 6, 15, 18, 45, 28, 104, 40, 95, 0, 81. Para desencriptar el mensaje, quien lo recibe debe armar la matriz de donde lo sacamos y multiplicarla por M −1 siempre por la izquierda donde

M −1 =

1  4 − 2   − 6 − 3 0   

 2 46 8 0 40 24 0 44 2 8 0 32 2 0 44 0 6 18 28 40 0  M −1 •   40 92 43 3 95 48 3148 43 16 15 127 16 60 148 60 15 45 104 95 81   
dicho producto le dará como resultado, el mensaje:

12 0 9 1 5 0 1 20 13 0 5 21 4 20 20 20 1 3 16 5 27    1 23 4 0 20 12 0 22 1 4 0 16 1 0 22 0 3 9 14 20 0    
Problema 1.a Desencriptar el siguiente mensaje usando el procedimiento del ejemplo pero en este caso ingrese los datos formando columnas: 30, 18, 23, 19, 16, -13, 26, 25,...