matematica

DESCOMPOSICION DE VECTORES:
Sean los vectores no paralelos en podemos expresarlo como una suma de componentes vectoriales son múltiplos escalares de entonces podemos decir que se ha efectuado una descomposición del vector en sus componentes paralelos a los vectores






También se dice que podemos expresarlo como una “Combinación Lineal” de los vectores los cuales reciben elnombre de “bases” del conjunto de vectores
Podemos afirmar entonces que todo vector se puede expresar como una suma de múltiplos escalares de vectores unitarios ortogonales:
En Efecto:

De donde:

En esta expresión los escalares se llaman “componentes escalares” de paralelas a . Los vectores son las llamadas componentes vectoriales de paralelas a .







COMBINACIONESLINEALES:
Sabemos que todo vector , también sabemos que podemos escribirlo:

esto nos indica que es una Combinación Lineal de los tres vectores .
Nota Aclaratoria:
---- Vector Unitario



Cuando tenemos:


Si es una Combinación Lineal de vectores de , si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita del
Ejemplo:
, decimos que es un combinación lineal de por queal despejar , se tiene
Definición:
Se dice que un vector es una Combinación Lineal de los vectores , esto podemos expresarlo en forma de suma de múltiplos.

Donde (números)

Ejemplo1:
Sea y
Demostrar y expresar que es una combinación lineal de
Para demostrar que es una combinación lineal de , deben existir los escalares
Tales que se puedan expresar como suma de múltiplos:Reemplazando los valores tenemos:






Aplicando el método de Gauss-Jordan
, la primera fila se multiplica por y lo sumamos con la fila
La primera fila se multiplica por 1 y sumamos con la 3ra fila.

Sumamos la 2da fila con la 3ra Fila y el resultado lo colocamos en la 3ra fila.
, multiplicando la 2da fila por


Multiplicando la 1ra fila por tenemos

Multiplicamos lafila por – 4 y la sumamos a la primera:


La primera columna corresponde a , la segunda columna corresponde a por lo tanto el valor de los escalares será , haciendo la comprobación tenemos:




Finalmente podemos indicar que es una Combinación Lineal de
Pues Respuesta…

Ejemplo2:
Sea ,
Demostrar que es una combinación lineal de
Veamos:
Para indicar que es una combinaciónlineal de deben existir los escalares
Tales que se puedan expresar como suma de múltiplos:

Reemplazando los valores tenemos:




Resolviendo este sistema utilizando regla de Crammer:
Sabemos que:

Procedemos a calcular las determinantes:








Luego:








Finalmente concluimos que:
es una combinación lineal de , es decir:


CONJUNTO DE GENERADORESDefinición:
Sea un Espacio Vectorial. Si existe un conjunto de vectores tal que, todo vector se pueda expresar como la combinación lineal de:
Diremos que es un conjunto de Generadores de .
Notación:
La Notación
Se lee: es una combinación Lineal de los vectores
O también: esta generado por los vectores
Ejemplo:
1. Sea el conjunto:
Resp NO
Resp. SI
Un conjunto de Generadores delconjunto se obtiene del siguiente modo:
Los elementos del conjunto lo podemos escribir así:
Puesto que la condición es que la primera componente es CERO.
Además, los elementos se pueden escribir así:



Ósea que:


2. Sea el conjunto
Los elementos de conjunto se pueden escribir de la siguiente manera:

Además:

Es decir:

Ejemplo 3:
3. Sea el conjunto:
Hallar el conjuntogenerador para T
Solución:
Los elementos de podemos escribirlo así:


Es decir:


Observación: El conjunto de generadores debe estar en función de vectores unitarios o vectores canónicos.






DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL
Definición 1: Sea un espacio vectorial y un conjunto de vectores pertenecientes a .
Diremos que los vectores son linealmente dependientes si...