matematica

UNIDAD 1 Ecuaciones y desigualdades

1.3

1.3 Números complejos

1

Números complejos

OBJETIVOS


Expresar números complejos en forma estándar.



Efectuar operaciones con la unidad imaginaria.



Efectuar operaciones de suma, resta, producto y división de números complejos .

Los números complejos fueron utilizados por primera vez en el año 1950 para resolver ciertotipo de
ecuaciones, pero por mucho tiempo los matemáticos no los consideraron números legítimos. Leibniz que
junto con Newton fue uno de los grandes matemáticos del siglo XVII, los llamó anfibios, entre el ser y no
ser. Fue Descartes el primer matemático que los llamó números imaginarios, nombre que ha
permanecido a la fecha. En la actualidad los números complejos son aceptados por todos losmatemáticos y tienen muchas aplicaciones en las ciencias.
Usualmente los números complejos son introducidos cuando se intenta resolver ecuaciones cuya solución
es la raíz cuadrada de números negativos. Por ejemplo la ecuación

x2  1  0
Tiene como solución
x   1

El número 1 es llamado número imaginario y se representa con la letra i. La definición
formal es la siguiente

Definiciónde i
El número i llamado unidad imaginaria, se define como
i

De tal forma que

i2

1

 1 .

A partir de la definición de i se puede definir la raíz cuadrada de cualquier número negativo en la
forma siguiente

a 

ai

Por ejemplo,
9 
 27 

9 i  3i
27 i  3 3 i

Potencias de la unidad imaginaria
Ahora que se ha definido la unidad imaginaria, se pueden calcularsus potencias como se muestra a
continuación
i 

1

i2   1

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1.3 Números complejos

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Las demás potencias de la unidad imaginaria se obtienen a partir de las dos potencias anteriores

i3  i2  i  (  1)i  i
i4   i2   (  1)2  1
2

i5  i4  i   i2   i  (  1)2  i  (1)i  i
2

i6   i2   (  1)3   1
3

i7  i6 i   i2   i  (  1)3  i  (  1)i  i
3

Siguiendo el procedimiento mostrado para calcular las primeras 7 potencias de i es posible calcular
cualquier potencia de la unidad imaginaria como se ilustra en el ejemplo siguiente

Ejemplo 1: Calculando potencias de i
Calcule las potencias de i
a. i51

b.

i96

Solución
a.

Cualquier potencia de i se puede expresar como unapotencia de i2 como se muestra a
continuación
i51  i50  i  (i2 )25  i  (  1)25  i  (  1)i  i

b.

Procediendo de la misma forma que el inciso anterior
i96  (i2 )48  i  (  1)48  1

Definición de número complejo
Ahora que ya se ha definido la unidad imaginaria se puede definir formalmente el concepto de número
complejo

Definición de número complejo
Si a y b son números realese i es la unidad imaginaria, entonces a  bi es
llamado número complejo. El número real a es llamado parte real y el
número real b es llamado parte imaginaria del número complejo.

Los números reales son un subconjunto de los números complejos y se obtienen haciendo b  0 ya
que
a  bi  a  0i  a

Cuando la parte real de un número complejo es cero el número complejo es llamado númeroimaginario o número imaginario puro.
a  bi  0  bi  bi

Un número complejo esta expresado en forma estándar si tiene la forma a  bi .

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Ejemplo 2: Forma estándar de números complejos
Escriba los siguientes números complejos en forma estándar
a.

b.

32

3

c.

9

 40  3

Solución
a.

En éste casose debe simplificar el radical en la forma siguiente
 32 

b.

La forma estándar que se obtiene es

3
c.

32 i  4 2 i

9  3 

9 i  3  3i

La forma estándar es

  40  3   3  40 i   3  2 10 i

Operaciones con números complejos
En esta sección solamente se estudiarán las operaciones fundamentales de los números complejos suma,
resta, producto y división....