matematica

Cálculo integral de funciones de una variable:
problemas resueltos
B ENITO J. G ONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es)
D OMINGO H ERNÁNDEZ A BREU (dhabreu@ull.es)
M ATEO M. J IMÉNEZ PAIZ(mjimenez@ull.es)
M. I SABEL M ARRERO RODRÍGUEZ (imarrero@ull.es)
A LEJANDRO S ANABRIA G ARCÍA (asgarcia@ull.es)
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de La Laguna

Índice
3. Problemas resueltos1

3.1. Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3.2. Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

1

3.2.1. Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3.2.2. Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3.2.3. Aplicaciones: valor medio de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

M ATEMÁTICA A PLICADA Y E STADÍSTICA

OCW-ULL2013

C ÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE : PROBLEMAS RESUELTOS

3.

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Problemas resueltos

3.1.

Integral indefinida

Ejercicio 3.1. Calcular
x4 − x3 − x − 1
dx.
x3 −x2

R ESOLUCIÓN . Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, efectuamos la división de
polinomios para obtener una fracción racional propia:
x4 − x3 − x − 1
x−1
= x− 2
.
x3 −x2
x (x − 1)
A continuación, descomponemos el segundo sumando de la expresión anterior en fracciones simples:
C
A B
Ax(x − 1) + B(x − 1) +Cx2
(A +C)x2 + (−A + B)x − B
x−1
= + 2+
=
=
.
x2(x − 1)
x x
x−1
x2 (x − 1)
x2 (x − 1)
Igualando numeradores, encontramos que B = −1 A = −2, C = 2. Por tanto:
x−1
dx =
x2 (x − 1)

x dx +

3.2.

1
dx −
x2

2
x2
x
1
dx = + 2 ln
−+C.
x−1
2
x−1
x

Integral definida

3.2.1.

2
dx +
x

Cálculo de áreas

Ejercicio 3.2. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de las funciones y = 2x, y = x2 − 4x.

R...