matematica

CEPRE-UNI

ALGEBRA

Ej.

MATRICES
Definición: Matriz es un arreglo
rectangular de elementos ordenados en
filas y columnas
Notación: A, B, C, D…., Z.
Así:

⎡a11
⎢
⎢a21
A=⎢
⎢ai1
⎢
⎢am1
⎣

a12

a1j

a22

a2j

ai2

ai j

am2

amj

a1n ⎤
⎥
a2n ⎥
⎥
ai n ⎥
⎥
amn ⎥
⎦

F
I
L
A
S

COLUMNAS

Donde:
a11, a12, …a21, a22… am1, am2, … ,amn son
elementosde la matriz, que pueden ser
números reales (o complejos) y también
pueden ser funciones.
aij: es el elemento de A que se encuentra
en la fila i, y en la columna j.
Orden de la matriz.- Si una matriz tiene
m filas y n columnas. la matriz A se
denota A = (aij)mxn , su orden es mxn.
TIPOS DE MATRICES
1) Matriz nula.

A = (aij )mxn / aij = 0 ∀1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

⎛0 0⎞
⎛0 0 0 0⎞
B=⎜
⎟⎟
⎝ 0 0 ⎠2x2
⎝ 0 0 0 0 ⎠2x4

Ej. A = ⎜

2) Matriz fila:
Es aquella matriz que tiene 1 sola
fila y n columnas, A = (a1j)1xn.
Ej. A = (π Ln2 0
5)1x4
3) Matriz columna
Es aquella matriz que tiene n filas y
una sola columna, A = (ai1)nx1.

-1-

Coordinación de Algebra

⎡ 0⎤
⎢ −π ⎥
A=⎢ ⎥
⎢ 2⎥
⎢ ⎥
⎢ 5 ⎥ 4x1
⎣ ⎦

4) Matriz cuadrada
Es aquella matriz donde el número
de filases igual al número de
columnas.
Notacion: A = (aij)nxn ó A = (aij)n
Así

⎡a
a
a13 ⎤
⎢ 11 12
⎥
A = ⎢a21 a22 a23 ⎥
⎢
⎥
⎢a31 a32 a33 ⎥
⎣
⎦
diagonal principal : a11 a22 a33

5) Matriz diagonal
A = (aij)nxn/ aij = 0 ∀ i ≠ j
Ej.

0 0⎞
⎛7
⎜
⎟
B = ⎜ 0 −3 0 ⎟
⎜0
0 1 ⎟3x3
⎝
⎠

0⎞
⎛2
A =⎜
⎟
⎝ 0 −3 ⎠2x2
6) Matriz escalar

⎧k; i = j
⎩0; i ≠ j

A = (aij)nxn/ aij = ⎨Ej.

0 ⎞
⎛ Ln2 0
⎜
⎟
A = ⎜ 0 Ln2 0 ⎟ donde k = Ln2
⎜ 0
0 Ln2 ⎟
⎝
⎠
7) Matriz identidad
Es una matriz escalar donde k = 1.
Ej.

⎛ 1 0⎞
I2 = ⎜
⎟
⎝ 0 1 ⎠2x2

⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟
I3 = ⎜ 0 1 0 ⎟
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠3x3

8) Matriz triangular superior
A = (aij)nxn/ aij = 0, si i > j
Ej.

⎛ 1 2 3⎞
⎜
⎟
A = ⎜0 5 7⎟
⎜0 0 8⎟
⎝
⎠
Ciclo 2011-2

CEPRE-UNI
9) Matriz triangular inferiorA = (aij)nxn/ aij = 0, si i < j

Ej.

ALGEBRA
A = (aij)nxn es simétrica si A=AT o
sea si: aij=aji, ∀i,j.
Ej.

0 0⎞
⎛1
⎜
⎟
A = ⎜ 4 −2 0 ⎟
⎜ 10
4 π⎟
⎝
⎠

⎡1 4 5⎤
A = ⎢4 2 6⎥ = AT
⎢
⎥
⎢5 6 3⎥
⎣
⎦

10) Matrices Conmutables.
Si A y B son matrices cuadradas
del mismo orden, se dicen que
conmutan si AB=BA.
11) Matriz Idempotente.
Si A es una matriz cuadrada y
A2=A, A sedice que es una matriz
idempotente.
12) Matriz Involutiva.
Si A es una matriz cuadrada y A2=I,
A se dice que es una matriz
involutiva.
13) Matriz Ortogonal.
Si A-1=AT, A se dice que es una
matriz ortogonal.
14) Matriz Nilpotente.
A = (aij)nxn una matriz se dice que es
una matriz nilpotente si
∃n ∈ N / A n = 0
RELACIONES ENTRE MATRICES
1) Igualdad de matrices
Sea A = (a ) , B = (b )ij mxn

ij rxs

⎧i) Tienen el mismo orden: m = r, n = s
⎪
A =B ↔⎨
⎪ii) aij = bij ∀ i,j
⎩
2) Transpuesta de una matriz
entonces la
Sea A = (aij)mxn
transpuesta de A denotada por
AT se define por:AT = (aji)nxm. O sea
las filas de A son columnas de AT,
las columnas de A son filas de AT.
Ej.

⎡1 2⎤
⎢3 0⎥
⎡1 3 5 7⎤
T
⎥
A=⎢
⇒A =⎢
⎢5 −3 ⎥
2 0 −3 4⎥2x4
⎣
⎦
⎢
⎥
⎣7 4⎦4x2
3)Matriz simétrica
- 2 - Coordinación de Algebra

4) Matriz antisimétrica
Sea A = (aij)nxn es antisimétrica si
A = –AT osea si: aij = -aji, ∀i,j.

⎡ 0 7 −3 ⎤
⎢
⎥
Ej. A = −7 0 −5 cumple A = –AT
⎢
⎥
⎢ 3 5
0⎥
⎣
⎦
Propiedad: si A es antisimétrica,
entonces los elementos de la
diagonal principal son todos nulos.
5) Traza

de

una

matriz

A = (aij)nxn, entonces Tr(A) =

Sean

∑ aii
i =1

Ej.

⎡1
⎢3
A=⎢
⎢0
⎢
⎣−4

2 7 4⎤
4 2 0⎥
⎥ ,Tr(A) =1+ 4 +3 + 2 =10
7 3 1⎥
⎥
−3 1 2⎦

OPERACIONES CON MATRICES
1) Suma y resta
y B = (bij)mxn
Sean A = (aij)mxn
entonces A + B = (aij + bij)mxn
Ej.

⎡1 3 −2⎤
A=⎢
⎥
⎣4 −8 7⎦2x3

⎡−2 4 1⎤
B= ⎢
⎥
⎣10 5 −3⎦2x3

7 −1⎤
⎡ −1
A +B = ⎢
⎥
⎣ 14 −3 4 ⎦
Apreciación: Toda matriz cuadrada
es la suma de una...