Matematica

CIUDAD UNIVERSITARIA AV. LAS CALANDRIAS S/N SANTA ANITA - LIMA

ABI T

VOS

LIB E R

INTRODUCCION

La presente Guía de Ejercicios y Problemas de Matemática II para el estudiante representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinación Académica y el Area de Matemática vienen realizando en cada semestre académico. Su elaboración está decididamente orientada a incrementarla calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemática II, en la Unidad Académica de Estudios Generales. Esta Guía que se presenta, contiene ejercicios y problemas de aplicación de cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarán en el presente semestre académico 2010 - I, por lo que está dividida en tres unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estasunidades son: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales, Límite y Continuidad de una Función Real de Variable Real y, Derivadas e integrales. Es nuestra intención y propósito, que la presente guía sea en un instrumento básico de trabajo para el estudiante, por tanto es indispensable la consulta permanente con la bibliografía recomendada. Asimismo, esperamos que contribuya a la formaciónprofesional y académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la Asignatura de Matemática II, así como también el de mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje.

La Coordinación del Área de Matemática

M AT EMA T ICA II

SEMESTRE ACADEMICO 2010 - I

SEMANA 1

MATRICES

DEFINICIÓN Una matriz es un arreglo rectangular de elementos aij dispuestos en filas ycolumnas. Estos elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con las letras mayúsculas A, B, C , etc. Representación General:

 a 1 1 a 1 2 .......   a 2 1 a 2 2 .......  A =  .  .  a a .......  m 1 m 2
Orden de una matriz

a1 a2

n n

amn

         m xn

El orden de una matriz queda determinado por el número de filas ycolumnas que tenga la matriz. Si, A = [ a ]
ij m×n

es una matriz , entonces i = 1 ; 2 ; 3 ; ……… ; m, y

j = 1 ; 2 ; 3 ; …; n.

determinan el orden, que en este caso es m x n . Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). ejemplo el elemento a12 está en la fila 1 y en la columna 2. CONSTRUCCIÓN DE MATRICESEjercicios: Construir las siguientes matrices: Por

1)

A = [a ]

ij 2 x 3

i= j  2i − j ,  /a =  i− j ij , i≠ j   2

2) A = [ a

ij

]

3x 2

 ( −1 ) i , i = j  /a =  ij  ( −2 ) j , i ≠ j 
 3i , i < j /b =  ij  j +1 , i ≥ j

3)

A=[ a ]
ij

2 x 2

x , i= j /a =  ij y , i ≠ j

4)

B =[ b ]
ij

3 x3

E S T U D I O S G E N E R AL E S

0 1

M AT EMA TICA II

SEMESTRE ACADEMICO 2010 - I

5) C = [ c

ij

]

3 x3

 j + 2 i ,i ≤ j /c =  ij i − 2 j , i > j
 2 j − 3i ; i > j

6) C = [ c

ij

]

3 x 2

1 , i ≥ j /c =  ij 3 , i < j max ( i , j ); i ≥ j /c =  ij min ( i , j ); i < j  ji ; i < j  / e =  i⋅ j ; i = j ij  ij ; i> j 

7) D = d ij    3 x 3 / d ij =  2 j + 3i ; i ≤ j 

8) C =[ c

ij

]2 x3

9)

E = a ij   

3x3

  / e = ij  

3i + j

; i< j
10) E = e ij   3 x 3

i2 + j2 ; i = j 2i − j ; i > j

IGUALDAD DE MATRICES Las matrices A = [ a ]
ij

m×n

y B = [b ]
ij

m×n

son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y

sus entradas correspondientes son iguales.

A = B ⇔ aij = bij , para todo i, j
EJERCICIOS Si las matrices A y B soniguales, entonces:

1. Calcule: E = s + m + p

, si

 0,5S  A= 4   p +1 

2 0 3

 − 7  s  1   7 

y

16 2 −7  B= 4 0 s  m − s 3 7m 

    

 0, 2 x  2. Calcule: E = xy + xz + yz , si A =  4   z −1 
x+ y+z 6 x − 2 y , si A =  6  4z − 2

1 0 8

 7   y  1  3

y

 25 1  B=4 0  x− y 8 

7  y  3y  

3. Calcule: E =

8  x +...