Matematica

Definición y aplicación de los grafos:
Un grafo es un conjunto de puntos (vértices) en el espacio, que están conectados por un conjunto de líneas (aristas). Otros conceptos básicos son:
Dos vértices son adyacentes si comparten la misma arista.
Los extremos de una arista son los vértices que comparte dicha arista.
Un grafo se dice que es finito si su número de vértices es finito.Teoremas:
Dos grafos son isomorfos si tienen el mismo número de vértices y aristas y, estas se corresponden con los mismos extremos.
El grado del vértice de un grafo (gr) es el número de aristas que tienen por extremo dicho vértice.
Si dos grafos son isomorfos, los vértices que se corresponden tienen el mismo grado.

Primer Teorema de la Teoría de Grafos:
Todo grafo contiene un número par o cero devértices de grado impar.
Un subgrafo es un grafo que esta contenido dentro de otro grafo y que se obtiene eliminando algunas aristas y vértices del grafo principal.
Un grafo es regular si todos sus vértices tienen el mismo grado k (k-regular).
Un grafo es completo si cada par de vértices son los extremos de una arista.
Dos grafos completos con el mismo número de vértices son isomorfos.Definición:
Un grafo es un par ordenado , donde:
• es un conjunto de vértices o nodos, y
• es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos.

Caminos:
Un camino en un grafo es una sucesión finita en la que aparecen alternadamente vértices y aristas de dicho grafo. Otras definiciones básicas son:
• Los extremos son los vértices iniciales y final del camino.
• Lalongitud de un camino es el número de aristas que contiene.
• Un camino es cerrado si sus extremos coinciden.
• Un camino es simple si en la sucesión de vértices no hay ninguno repetido.
• Un ciclo es un camino cerrado donde los únicos vértices repetidos son el primero y el último.
• Un circuito es un camino cerrado que no repite aristas.
• Si en un grafo existe un camino que conecta dos vérticesdistintos, entonces existe un camino simple con extremos en dichos vértices.
• Un grafo es conexo si para cada par de vértices, existe un camino con extremos en dichos vértices.









Ejemplo:



Accesibilidad:
Sea G = {V,A} un grafo dirigido.



Sean xi y xj dos vértices dentro del conjunto de vértices de G, diremos que xi alcanza a xj, o que xj es alcanzablepor xi, si existe un camino dirigido de xi a xj.

Conexión:
Un grafo es conexo si para cada par de vértices u y v existe un camino de u a v. Si G es un grafo no conexo (o dis-conexo), cada uno de sus subgrafos conexos maximales se llama componente conexa de G.
Un vértice v se llama vértice-corte (o punto de articulación) de G si el grafo G-{v} tiene más componentes conexas que G.
Una arista ade un grafo G se llama puente si G-{a} tiene más componentes conexas que G.
Un espacio topológico X se dice conexo si no contiene ningún subconjunto abierto y cerrado, excepto Æ y X. Intuitivamente, un conjunto es conexo cuando no está compuesto por dos o más partes separadas. Una definición mucho más fácil de entender es la de conjunto arco conexo. Sin embargo, se puede probar que ambas nocionesno coinciden: todo conjunto arco conexo es conexo, pero la recíproca es falsa. En la topología usual, todo abierto conexo es también arco conexo.

Representación de recorrido de grafos:
En muchas aplicaciones es necesario visitar todos los vértices del grafo a partir de un nodo dado. Algunas aplicaciones son:
• Encontrar ciclos
• Encontrar componentes conexas
• Encontrar árboles cobertoresRepresentación en forma de grafos de sistemas mecánicos y electromecánicos:



• Sistema electromecánico.

Ejemplo de un virador es el motor de corriente continua:


Puede inferir una representación por variables de estado del sistema, partiendo del grafo de enlaces del sistema. Para ello elige como variables de estado, las variables de energía de los almacenadores de...