Matematica

PARTE 1

ÁLGEBRA DE
LOS NÚMEROS REALES
1. LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL:
En esta sección se hará una presentación sumaria del Sistema de los Números Reales y su
relación con algunos conceptos geométricos básicos, para dar interpretaciones gráficas e
intuitivas de ciertos resultados y hablar de la Recta Real.
Para tal presentación consideraremos que el lector ha trabajado y estáfamiliarizado en el uso
y manejo de los conjuntos de los Números Naturales, de los Números Enteros y de los
Números Racionales o Fraccionarios; que se representan, respectivamente por:

N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ……… }, para contar la cantidad de elementos de un
conjunto;

Z = { ……… , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4, ………. }, para diferenciar cantidades y
sus opuestos; usado ensituaciones, por ejemplo, de ganancias y pérdidas;
r , s, t, a, b y c.
a
Q ={
/ a y b en Z y b  0 }, para representar partes fraccionadas de una cantidad
b
o de un “todo” o “unidad”.
A través de ciertas identificaciones, entre estos conjuntos se tiene las siguientes inclusiones
propias: N  Z  Q, donde Z = Z +  {0}  Z , unión de los subconjuntos de los enteros
positivos, el cero y losenteros negativos, N = Z +  {0}, y cada z  Z se identifica como una
z
fracción o número racional
 Q.
1
También se conocen las expresiones decimales periódicas o números decimales periódicos,
como 0,585858… , 3,27416416416… , 7,5694 = 7,56940000… , etc. que se representan por
a
números fraccionarios o fracciones generatrices; y los números fraccionarios , con a y b
b
en Z y b  0 , seconsideran una división indicada a  b (a entre b), que al efectuar tal
división, por el algoritmo de la división en Z, se tienen un cociente q y un residuo r en Z tal
a
r
que a = bq + r y 0  r < b; de donde
=q+
y resulta una expresión decimal periódica
b
b
“pura” o “mixta”, según el divisor o denominador b tiene solamente factores potencias de 2 o
de 5, o contiene otros factores primos.
139
39  5
195
=
=
= 1,95, que resulta de efectuar 39  20. Por el algoritmo de la
20
20  5
100
39
19
1  190 
1  19 
división en Z, 39 = 120 + 19, de donde
=1+
=1+
 ,

 =1+
20
20
10  2 
10  20 
19
1
donde 19 = 92 + 1 o
9 .
2
2

Así,

Luego,

39
9
9
9
1
1
1
1 1
1  10 
=1+
+
+
+
5
9   = 1 +
  =1+
  =1+
20
10 10  2
10 100  2 
10 100
10 
2
4
5
=1+
+
= 1 + 0,9 + 0,05 = 1,95 = 1,950000….
10 100

11
11
11
1  110 
, se tiene 11 = 015 + 11 o
=0+
=0+

 , donde
15
15
15
10  15 
110
5
1
110 = 715 + 5 o
=7+
=7+ .
3
15
15

Análogamente, para

11
7
7
10
1
1
1
1 1
1  10 
=0+
+
+
 3  , es
7   = 0 +
  =0+
  , donde
3
3
15
10 10  3 
10100  3 
10 
3
11
7
7
7
1 
1
3
1 1
3
1  10 
decir,
=0+
+
+
+


  =0+
 
3   = 0 +
15
10 100 
10 100 100  3 
10 100 1000  3 
3
7
7
3
3
1 1
3
3
3
1 1
=0+
+
+





  =0+
 
10 100 1000 1000  3 
10 100 1000 1000 1000  3 
= 0 + 0,7 + 0,03 + 0, 003 + 0,0003 + …. = 0,7333…, expresión periódica mixta.
Luego,

En losconjuntos N, Z y Q están definidas operaciones, algunas parcialmente definidas, de
adición, multiplicación, sustracción, división, potenciación y radicación, con sus correspondientes propiedades o reglas propias; así como un ordenamiento entre sus elementos que
permite diferenciar la igualdad de dos números o cuándo un número es mayor o es menor que
7
5 2
otro número, precisando por ejemploque 5 < 8,
, 1,9999…= 2, etc.
 , 3 >
5
7 3
estableciendo sendas propiedades que caracterizan a dichos conjuntos.
Gráficamente, los elementos de estos conjuntos se identifican con puntos de una recta R: Se
fijan un punto O en R, que lo separa en dos semirrectas opuestas, y una unidad de medida, la
abertura de un compás. Centrado en O, que identificamos con 0, en una semirrecta se marca...