matematica

Definición 1
Sea dada una sucesión infinita de números
u1, u2, u3, …, un, …
la expresión
u1 + u2 + u3 + …+ un +…
se llama serie numérica.
Los números u1, u2, u3, …, un, … se llaman
términos de la serie.

Definición 2
La suma de los primeros n términos de la serie
se llama suma parcial n-ésima de la serie:
Sn= u1 + u2 + u3 + …+ un +…

Consideremos las sumas parciales:
s1=u1s2=u1 + u2,
s3=u1+ u2 + u3,
. . . . . . . . . .
sn= u1 + u2 + u3 + … + un
Si existe el límite finito
S = lim sn
n→∞
Entonces, a éste se le llama suma de la serie y
se dice que la serie converge

Si lim Sn no existe (por ejemplo, Sn→∞ para n
→∞), entonces se dice que la serie diverge y no
tiene suma.
Ejemplo: sea la serie de una progresión
geométrica de primer término a y razón q (a ≠0):

a + aq + aq2 + aq3 + … + aqn-1 + …

Serie: a + aq + aq2 + aq3 + … + aqn-1 + …
La suma de los n primeros términos (q ≠ 1) es :
Sn

1) Si

a aq n
1 q

O bien:

aq n
1 q 1 q
a

Sn

q < 1, entonces qn→0 cuando n→∞ y,

por consiguiente,
lim S n
n

a

n

aq
lim
n
1 q 1 q

se dice que la serie converge

a
1 q

2) Si q > 1, entonces qn → ∞ cuando
n→∞ y, portanto,
a aq n
1 q

cuando n

es decir lim S n no existe.
n

se dice que la serie diverge

3) Si q = 1, la serie tiene la forma:
a+a+a+…
En este caso,
Sn = n.a, lim S n
n

Se dice que la serie diverge

4) Si q = −1, la serie tiene la forma:
a−a+a−a+…
En este caso,

Sn

0, cuando n es par ,
a, cuando n es impar.

Se dice que la serie diverge porque no tiene
límite.Propiedades de la convergencia
1. Si la serie: u1 + u2 + … , converge y su suma
es S, entonces la serie:
cu1 + cu2 + …, donde c es un n° arbitrario
fijo, también converge y su suma es c.S

2. Si las series a1 + a2 + … y b1 + b2 + …
convergen y sus sumas son Sa y Sb
respectivamente, entonces las series:
(a1 + b1) + (a2 + b2) + …
y
(a1 − b1) + (a2 − b2) + …
También convergen, y sussumas son
iguales a Sa+ Sb y Sa − Sb,
respectivamente.

Condición necesaria de convergencia de
una serie.
Teorema: Si una serie converge, entonces su
n-ésimo término tiende a cero cuando
n→∞

Corolario: Si el n-ésimo término de una
serie no tiende a cero, cuando n→∞, la
serie diverge.

Ejemplo: la serie 1 2 3 ...
3

5

7

n
2n 1

Diverge, puesto que
n
lim
n
2n 1

1
20

Observación: esta condición solo es necesaria
pero no suficiente, si el n-ésimo término
tiende a cero no se deduce obligatoriamente
que la serie converge.

Comparación de series de términos
positivos
Sean dos series de términos positivos:
u1 + u2 + u3 + …+ un +…
(1)
v1 + v2 + v3 + …+ vn +…
(2)
Son válidos los siguientes teoremas:

1. Si los términos de la serie (1) no sonmayores
que los términos correspondientes de la serie
(2), es decir: un≤ vn para n = 1, 2, …)
y la serie (2) converge, entonces la serie (1)
también converge.

Comparación de series de términos
positivos
u1 + u2 + u3 + …+ un +…
v1 + v2 + v3 + …+ vn +…

(1)
(2)

2. Si los términos de la serie (1) no son menores
que los términos correspondientes de la serie
(2), es decir: un≥ vn paran=1, 2, …)
y la serie (2) diverge, entonces la serie (1)
también diverge.
Estos teoremas son válidos sólo para series de
términos positivos.

Ejemplo: relación armónica
Se considera otra serie de términos correspondientes
iguales o menores a la dada

Como esta es divergente pues su suma tiende a ∞ la serie
dada también diverge

Criterio de d’Alembert
Si en una serie de términospositivos:
u1 + u2 + u3 + …+ un +…
(1)
La relación del (n+1)-ésimo término al n-ésimo
término, cuando n→∞ tiene límite finito L, o sea:
un 1
lim
n
un

Entonces:
1) La serie converge si L < 1
2) La serie diverge si L > 1

L

Estudiar la convergencia de la serie
2
1

22
2

23
2n
...
3
n

n

un

2
; un
n

...

n 1

1

un 1
lim
n
un

2
un 1
;
n 1
un...