matematica

Función lineal. En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Sise modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

Cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contextode álgebra lineal. Ejemplo

Dos rectas y sus ecuaciones en coordenadas cartesianas.
Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y.
En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

en esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de la pendiente de larecta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2.
En la ecuación:

la pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.
En una recta el valorde m se corresponde al ángulo  de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:


Función cuadrática

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:

con .1
Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de quecuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a 0  y   b  es  diferente  de  cero,   entonces
logb y = x  si y sólo si  y = bx.
 
Nota:  La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.
 

Ejemplos:
 
1)  ¿A qué exponente hay que elevar la base5 para obtener 25?  Al exponente 2, ya que 52 = 25.  Decimos que “el logaritmo  de 25 en la base 5 es 2”.   Simbólicamentelo expresamos de la forma log5 25 = 2.   De  manera que,  log5 25 = 2  es  equivalente a  52 = 25.  (Observa que un logaritmo es un exponente.)
 
2)  También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.
  Nota:  El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales.   De manera que, log10 3  está definido, pero el log10 0  y  log10 (-5) no lo están.  Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son. 
 
 Ejemplo para discusión:  Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:
 

Dada la función:

De la figura, calcularemos su derivada primera:

Esta derivada valdrá cero:cuando:

esto es:


Esta función presenta un extremo relativo para, veamos si es un máximo o un mínimo, calculando la derivada segunda:

Que es 2, dado que 2 es un valor positivo, la función es cóncava, y el extremo relativo que presente para: , es un mínimo. El valor de la derivada segunda de una función de segundo grado es el coeficiente de , por lo que a la vista de la ecuación, podíamosadelantar que sería mínimo sin calcular la derivada segunda.
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente...