Matematica

Cap´ ıtulo 1

Introducci´n o

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Errores

1.1

Introducci´n o

La ciencia y la tecnolog´ describen los fen´menos reales mediante modelos matem´ticos. El ıa o a estudio de estos modelos permite un conocimiento m´s profundo del fen´meno, as´ como de a o ı su evoluci´n futura. La matem´tica aplicada es la rama de las matem´ticas que se dedica a o a a buscar y aplicar lasherramientas m´s adecuadas a los problemas basados en estos modelos. a Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar m´todos anal´ e ıticos cl´sicos por diferentes a razones: • No se adec´ an al modelo concreto. u • Su aplicaci´n resulta excesivamente compleja. o • La soluci´n formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretaci´n poso o terior. • Simplemente no existen m´todos anal´ eıticos capaces de proporcionar soluciones al problema. En estos casos son utiles las t´cnicas num´ricas, que mediante una labor de c´lculo m´s o ´ e e a a menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre num´ricas. El importante e esfuerzo de c´lculo que implican la mayor´ de estos m´todos hace que su uso est´ ´ a ıa e e ıntimamente ligado al empleo de computadores. De hecho, sin eldesarrollo que se ha producido en el campo de la inform´tica resultar´ dif´ a ıa ıcilmente imaginable el nivel actual de utilizaci´n de las t´cnicas o e num´ricas en ambitos cada d´ m´s diversos 1 . e ´ ıa a

1.2

Errores

El concepto de error es consustancial con el c´lculo num´rico. En todos los problemas es a e fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimarel grado de aproximaci´n de la soluci´n que se obtiene. o o Los errores asociados a todo c´lculo num´rico tienen su origen en dos grandes factores: a e • Aquellos que son inherentes a la formulaci´n del problema. o e o • Los que son consecuencia del m´todo empleado para encontrar la soluci´n del problema.
Un ejemplo: durante la segunda guerra mundial, el Ballistic Research Laboratory (BRL), unlaboratorio del ej´rcito americano, destinaba todos sus esfuerzos al c´lculo de “tablas de tiro”, necesarias para ajustar el e a angulo de tiro en funci´n de numerosos factores (tipo de proyectil y ca˜ on, situaci´n del blanco, velocidad del ´ o n´ o viento, temperatura, etc. . . ). Estas tablas eran largas y dif´ ıciles de establecer: s´lo con dos factores (alcance del o proyectil y altitud delblanco) se requer´ entre 2000 y 4000 trayectorias, cada una de las cuales requer´ 750 ıan ıa multiplicaciones de 10 cifras. Una “calculadora humana” requer´ tres d´ para calcular una sola trayectoria. ıa ıas En el verano de 1944 el BRL produc´ quince tablas por semana mientras que la demanda era de cuarenta, ıa por lo que se paraliz´ la entrada en servicio de nuevos proyectiles, ya que de nada serv´en el frente sin las o ıan famosas tablas. En febrero de 1946 (tan s´lo a˜ o y medio despu´s), el primer ordenador “moderno”, denominado o n e ENIAC, era capaz de calcular una trayectoria cada veinte segundos.
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11 Dentro del grupo de los primeros, se incluyen aquellos en los que la definici´n matem´tica del o a problema es s´lo una aproximaci´n a la situaci´n f´ o o o ısica real. Estoserrores son normalmente despreciables; por ejemplo, el que se comete al obviar los efectos relativistas en la soluci´n o de un problema de mec´nica cl´sica. En aquellos casos en que estos errores no son realmente a a despreciables, nuestra soluci´n ser´ poco precisa independientemente de la precisi´n empleada o a o para encontrar las soluciones num´ricas. e Otra fuente de este tipo de errores tiene suorigen en la imprecisi´n de los datos f´ o ısicos: constantes f´ ısicas y datos emp´ ıricos. En el caso de errores en la medida de los datos emp´ ıricos y teniendo en cuenta su car´cter generalmente aleatorio, su tratamiento anal´ a ıtico es especialmente complejo pero imprescindible para contrastar el resultado obtenido computacionalmente. En lo que se refiere al segundo tipo de error (error...