Matematica

1. INTEGRACIÓN
En Matemática I se estudiaron los límites, la continuidad y la derivada de una función real de una variable real. Además se analizaron varias aplicaciones de la derivada. Esa es la rama de la Matemática denominada Cálculo Diferencial. Ahora se introduce lo que se llama Cálculo Integral, que trata de la integral definida. Así mismo se examinarán sus aplicaciones. Se verátambién cómo están relacionadas todas estas ideas.
2.1. Primitivas o antiderivadas. Integrales indefinidas. Reglas básicas de integración.
En el semestre anterior se pedía para una función dada encontrar su derivada. En este semestre se pide para una derivada dada encontrar la función que se derivó. Es decir, deshacer la derivación.
1.1.1. Diferenciales
Se inicia recordando loque son las diferenciales. Para y=gx que se lee “y igual a g de x”, ∆x que se lee “delta de x”, y g'x que se lee “g prima de x o derivada de g”, se tiene la definición siguiente.
Definición 1.1 Diferenciales
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Sea y=gx una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x y sea ∆x un incremento de x .
1.-------------------------------------------------
La diferencial de x (denotada dx) es:
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dx=∆x
2. -------------------------------------------------
La diferencial de y (denotada dy) es:
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dy=g'xdx
En palabras, la diferencial de x es igual a delta de x (el incremento de x), yla diferencial de y es igual a la derivada de g multiplicada por la diferencial de x.
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EJEMPLO 1.1.1
Encuentre dy, si y=x3-2x2+4x-2
Solución:
dy=3x2-4x+4dx Derivada de la función, multiplicada por la diferencial de x
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EJEMPLO 1.1.2
Encuentre dy, si y=sen3x2+2x-4
Solución:dy=cos3x2+2x-46x+2dx Derivada, aplicando Regla de la Cadena, por la diferencial de x
dy=6x+2cos3x2+2x-4dx Se ordena el resultado, lo que permite eliminar corchetes
∎
1.1.2. Primitivas o antiderivadas
Se desea hallar Fx, ley de correspondencia de una función, sabiendo que la ley de correspondencia de su derivada, es F'x=2x.
Por lo visto de derivadas en el semestreanterior, se puede afirmar que una solución posible sería Fx=x2 ya que si la derivamos da F'x=2x.
Se establece la definición siguiente.
Definición 1.2 Primitiva (o antiderivada)
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Una función F es una primitiva (o antiderivada) de otra función f, en un intervalo I, si su derivada F'x=fx para todo x en I.
En palabras, una función F(efe mayúscula o efe grande) es una primitiva de otra f (efe minúscula o efe pequeña), en un intervalo I, si su derivada F' es igual a f, para todos los números del intervalo I.
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EJEMPLO 1.1.3
Halle una primitiva de fx=3x2
Solución:
Fx=x3 Ya que su derivada es F'x=3x2, y por lo tanto F'x=fx
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No es la única solución ya que:F2x=x3+2
F3x=x3-12
F4x=x3+π
F5x=x3-5
también son primitivas de f, porque al derivarlas dan f, puesto que difieren en una constante cuya derivada es cero 0.
Se tiene el resultado siguiente.
Teorema 1.1
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Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I, si y sólo si G es de la forma:-------------------------------------------------
Gx=Fx+C
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para todo x en I, donde C denota una constante.
Traduciéndolo a palabras se tiene que todas las primitivas de una función f se obtienen añadiendo una constante C a una primitiva F de f.
La familia de funciones representada por G se llama la primitiva general de f....