Matematica

Super…cies
M. Eugenia Rosado María
Departamento de Matemática Aplicada
Escuela Técnica Superior de Arquitectura, UPM
Avda. Juan de Herrera 4, 28040-Madrid, Spain
E-mail: eugenia.rosado@upm.es

Índice
1 Representación analítica de super…cies
1.1 Representación explícita o de Monge . . . . . . . . . . . . . .

2
6

2 Estudio local de una super…cie
2.1 Plano tangente y recta normal enun punto de una super…cie.
2.2 Primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Cálculo de la expresión analítica de la primera forma
fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Curvatura normal . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Teorema de Meusnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Naturaleza de los puntos de una super…cie . . . . . . . . . . .
2.6 Curvaturas de una super…cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Curvaturas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Curvatura de Gauss ycurvatura media . . . . . . . . .
2.7 Líneas de curvatura y líneas asintóticas . . . . . . . . . . . . .
2.8 Indicatriz de Dupin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
7
9

1

9
10
15
17
19
19
21
21
22
23
25
29
33

3 Super…cies regladas
3.1 Curvatura total de las super…cies regladas
3.2Clasi…cación de las super…cies regladas . .
3.3 Puntos singulares de una super…cie reglada
3.3.1 Puntos centrales . . . . . . . . . . .
3.3.2 Arista de retroceso . . . . . . . . .
3.4 Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
..
.

.
.
.
.
.
.

4 Bibliografía

1

.
.
.
.
.
.

34
36
38
39
40
41
43
47

Representación analítica de super…cies

De…nición. Se dice que un subconjunto S
R3 es una super…cie parame2
trizada si existe un dominio D R y una aplicación
~: D
r
R 2 ! R3 ;
~(u; v ) = (x(u; v ); y (u; v ); z (u; v )) ;
r
tal que Im ~ = S .
r
A la aplicación ~ la denominamosrepresentación paramétrica de S .
r
!
De…nición. Se dice que un punto P 2 S con OP = ~(u; v ), es un punto
r
regular para la parametrización ~ si se veri…ca: ~u (u; v ) ^ ~v (u; v ) 6= ~ para
r
r
r
0
todo (u; v ) 2 D, siendo
~u (u; v ) = (xu (u; v ); yu (u; v ); zu (u; v )) ;
r
~v (u; v ) = (xv (u; v ); yv (u; v ); zv (u; v )) :
r
@x
La notación que utilizamos es: xu (u; v ) = @u (u; v).
La condición ~u (u; v ) ^ ~v (u; v ) 6= ~ signi…ca que los vectores ~u (u; v ),
r
r
0
r
~v (u; v ) son linealmente independientes; esto es,
r

rg

xu (u; v ) yu (u; v ) zu (u; v )
xv (u; v ) yv (u; v ) zv (u; v )

= 2:

Si tenemos una aplicación diferenciable,
~: D
r
R2 ! R3 ;
~(u; v ) = (x(u; v ); y (u; v ); z (u; v )) ;
r
2

!
con Im ~ = S R3 diremos que un punto P 2S con OP = ~ (u0 ; v0 ), es un
r
r
~.
punto singular de S si ~u (u0 ; v0 ) ^ ~v (u0 ; v0 ) = 0
r
r
Los puntos singulares pueden aparecer por la naturaleza de la super…cie
o por la elección de la parametrización.
Ejemplo 1 Consideramos la semiesfera superior de radio r y centrada en
el origen; esto es, la semiesfera de ecuación cartesiana:
x2 + y 2 + z 2 = r2 ; con z

0:Consideramos la siguiente parametrización:
~ : [0; 2 )
r

donde

! R3 ;
= (a cos sin ; a sin sin ; a cos ) ;

(0; =2)
~( ; )
r

mide la longitud y

la latitud. Se tiene:

~ ( ; ) = ( a sin sin ; a cos sin ; 0) ;
r
~ ( ; ) = (a cos cos ; a sin cos ;
r
a sin ) ;
y
~ ( ; )^~ ( ; ) =
r
r
=

a2 cos sin2 ;
a2 sin sin2 ;
a2 sin cos
a2 sin (cos sin ; sin sin ; cos ) :

Por...