Matematica

Unidad III: Homomorfismos
En matemáticas, un homomorfismo, (o a veces simplemente morfismo) desde un objeto matemático a otro de la misma categoría, es una función que preserva la estructura entre dos estructuras matemáticas relevantes. La noción de homomorfismo se estudia abstractamente en el álgebra universal, y ése es el punto de vista tomado en este artículo. Una noción más general demorfismo se estudia abstractamente en la teoría de las categorías. Por ejemplo, en un homomorfismo de orden, si un objeto consiste en un conjunto X con un orden v y el otro objeto consiste en un conjunto Y con orden u, entonces su valor para la función debe ser
.
O, si en estos conjuntos hay definidas operaciones binarias + y *, respectivamente, entonces se tiene la relación
.
Ejemplos de morfismoson los homomorfismos de grupos, los homomorfismos de anillo, los operadores lineales, las funciones continuas, etc.
Definición
Dado dos conjuntos no vacíos A y A', y las leyes de composición interna:


la función es un homomorfismo respecto de + y * si y sólo si la imagen de la composición en A es igual a la composición de las imágenes en A' para todo a, b pertenecientes a A. Es decir:
eshomomorfismo respecto de + y *
Cualquier homomorfismo f: X →Y define una relación de equivalencia ~ en X como a ~ b si y solo si f(a) = f(b). En el caso general, este ~ se llama núcleo de f. Al conjunto cociente X/~ se le puede entonces dar una estructura de una manera natural, v.g., [x] * [y] = [x] * [y]. En ese caso la imagen de X en Y bajo el homomorfismo f es necesariamente isomorfa a X/~;este hecho es uno de los teoremas de isomorfía. Nótese que en algunos casos (v.g. grupos o anillos), una sola clase de equivalencia K es suficiente para especificar la estructura del cociente, así que escribimos X/K.
También en estos casos, es K, más bien que ~, el que es llamado el núcleo de f.
Tipos particulares de homomorfismos
Un homomorfismo exhaustivo se llama epimorfismo.
Un homomorfismoinyectivo se llama monomorfismo.
Un homomorfismo biyectivo cuya inversa es también un homomorfismo se llama isomorfismo. Dos objetos isomorfos son totalmente indistinguibles por lo que a la estructura en cuestión se refiere.
Un homomorfismo de un conjunto a sí mismo se llama endomorfismo. Si es además un isomorfismo se llama automorfismo (endomorfismo biyectivo).
En topología, ciertos tipos deisomorfimos reciben nombres particulares:
Un homeomorfismo es un isomorfismo que preserva las características topológicas.
Un difeomorfismo es un isomorfismo que preserva las características topológicas y diferenciales.
1- HOMOMORFISMOS DE MONOIDES.
Un homomorfismo entre dos monoides y es una función f: M? N tal que
f = ff para todo x, y en M
F = In;
donde IM e IN son las identidades de My N, respectivamente. Homomorfismos Monoide son a veces llamados simplemente morfismos monoide.
No todo homomorfismo semigrupo es un homomorfismo monoide, ya que no puede conservar la identidad. Esto contrasta con el caso de homomorfismos de grupo: los axiomas de la teoría de grupos aseguran que cada homomorfismo semigrupo entre los grupos conserva la identidad. Para monoides esto no siempre escierto, y es necesario hacer constar que, como requisito independiente.
Un homomorfismo monoide biyectiva se llama un isomorfismo monoide. Dos monoides se dice que son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos.
2- HOMOMORFISMOS DE CUERPOS.
3- HOMOMORFISMOS DE ANILLOS.
Un homomorfismo de anillos es una aplicación entre anillos que conserva las estructuras de ambos como anillos.
En todo elartículo y son anillos.
Definiciones
Dado que existen distintos tipos de anillos, hay que particularizar la definición.
Caso general
Se dirá que la aplicación es un homomorfismo de anillos si se cumplen las siguientes dos condiciones:
, cualesquiera que sean .
, cualesquiera que sean .
La primera condición nos dice que es en particular un homomorfismo de grupos entre los grupos abelianos...