matematica

Cap´ıtulo 2
Probabilidad Condicional e
Independencia
2.1 Relaciones entre dos eventos
Definici´on 2.1 Si A y B son eventos con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A
dado B es
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
. (2.1)
Para comprender la motivaci´on de (2.1), consideremos el ejemplo de una poblaci´on Ω de
N personas, y en ella los subconjuntos A y B formados respectivamente por los que tienencaries y por los consumidores habituales de caramelos. Si se desea investigar emp´ıricamente
la relaci´on entre caries y consumo de caramelos, una forma de hacerlo ser´ıa calcular la
proporci´on p de caries entre los golosos, o sea
p =
card(A ∩ B)
card(B)
. (2.2)
Al mismo tiempo, si se considera el experimento de elegir al azar una persona de Ω, entonces
P(B) = card(B)/N, y P(A ∩ B) =card(A ∩ B)/N, y por lo tanto
p =
P(A ∩ B)
P(B)
= P(A|B). (2.3)
Comparando (2.2) y (2.3) surge que P(A|B) se puede considerar como la probabilidad de
obtener un elemento de A, cuando uno se limita a elegir de entre los de B.
En t´erminos de frecuencias relativas (ver p´agina 5), el significado intuitivo ser´ıa: P(A|B)
es la proporci´on de veces que se observa A, en una larga serie derepeticiones del experimento en la que registramos s´olo aquellas en que sucede B,
1314 CAP´ıTULO 2. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
De la definici´on es inmediato que
P(A ∩ B) = P(A|B) P(B). (2.4)
En el pensamiento cotidiano suele haber una cierta confusi´on entre P(A|B) y P(B|A).
Para aclararla, notemos que mientras la totalidad de los futbolistas profesionales tiene dos
piernas, s´olo una´ınfima proporci´on de las personas que tienen dos piernas son futbolistas
profesionales. El Ejemplo 2.E mostrar´a un caso menos obvio.
Definici´on 2.2 Los eventos A y B son independientes si
P(A ∩ B) = P(A)P(B). (2.5)
Para comprender el origen de este concepto, veamos el ejemplo anterior: si el consumo de
caramelos produjera mayor propensi´on a las caries, deber´ıa ser la proporci´on decariados
entre los golosos, mayor que la proporci´on en la poblaci´on total, o sea P(A|B) > P(A); si el
efecto fuera contrario, ser´ıa P(A|B) < P(B), y si no tuviera efecto, ser´ıa P(A) = P(A|B),
lo que equivale a (2.5).
Se dice que A y B tienen respectivamente asociaci´on positiva (negativa) si P(A ∩ B) es
mayor (menor) que P(A)P(B).
Ejemplo 2.A: Se arroja dos veces un dado equilibrado. Sean A ={en el primer tiro
sale impar}, y B = {en el segundo sale 3}. Si se postula que los 36 resultados posibles son
equiprobables, entonces
P(A ∩ B) =
3
36
=
3
6
1
6
= P(A)P(B),
y por lo tanto A y B son independientes. El mismo razonamiento muestra que en cualquier
situaci´on de muestreo con reemplazo, eventos correspondientes a repeticiones distintas son
independientes.
Ejemplo 2.B: Enuna caja hay N bolillas, de las cuales M son blancas. Se extraen
al azar dos sin reemplazo. Sean A y B respectivamente los eventos de que la primera (la
segunda) sea blanca. De la definici´on de muestreo sin reemplazo se deduce que
P(A ∩ B) =
M(M − 1)
N(N − 1)
y P(A) = P(B) =
M
N
. (2.6)
En efecto: card(Ω) = (N)2 = N(N − 1); y por los mismos motivos es card(A ∩ B) =
M(M − 1). El c´alculode P(A) y P(B) es como en el Ejemplo 1.D.
Por lo tanto hay asociaci´on negativa entre A y B, pues (M − 1)/(N − 1) < M/N si
N > M ≥ 0. Esto es comprensible intuitivamente, pues si la primera bolilla extra´ıda es
blanca, quedan menos blancas para la segunda.
Sin embargo, n´otese que
P(A ∩ B)
P(A)P(B)
=
M(N − 1)
N(M − 1)
,2.2. MODELOS BASADOS EN PROBABILIDADES CONDICIONALES 15
que tiende a1 cuando M y N → ∞. O sea, que para M y N “grandes”, A y B son
“aproximadamente independientes”; es decir, que en ese caso el muestreo sin reemplazo se
comporta aproximadamente como el muestreo con reemplazo, cosa que es f´acil de imaginar
intuitivamente (ver Ejercicio 2.15).
Proposici´on 2.3 La independencia de A y B es equivalente a la de A y B
, a la de A
y
B , y a la de A
y B
....