Matematica

Cap´ ıtulo 2: Derivada de una funci´n. Propiedades y o aplicaciones
2.1.
2.1.1.

Derivada de una funci´n en un punto o
El problema de la tangente

Hist´ricamente, el concepto de derivada surge al dar respuesta al llamado o problema de la tangente. Los griegos de la antig¨edad cl´sica sab´ determiu a ıan nar la recta tangente a una curva en un punto, si ´sta era una c´nica; es decir, e ouna elipse, una par´bola o una hip´rbola (recu´rdese que la circunferencia a e e es un caso especial de elipse, concretamente el caso de semiejes iguales). Sin embargo, hasta la creaci´n del c´lculo infinitesimal por Newton y Leibniz o a (siglo XVII) no se conoc´ ning´n m´todo para determinar la recta tangente ıa u e en un punto de una curva arbitraria. o Vamos a ver c´mo, al dar respuesta a esteproblema, surge el concepto de derivada de una funci´n en un punto. Sea f una funci´n real de variable o o real y x0 un punto de su dominio D. Si queremos encontrar la ecuaci´n de la o recta tangente a la curva de ecuaci´n y = f (x), s´lo necesitamos determinar o o la pendiente de dicha recta (recu´rdese que la pendiente de un recta es la e tangente del angulo que forma con la direcci´n positiva deleje OX). ´ o Como debe pasar por el punto P0 (x0 , f (x0 )), la ecuaci´n de la recta tano 1

gente tendr´ la forma y − f (x0 ) = m(x − x0 ), siendo m la pendiente de la a recta en cuesti´n. Por tanto, el problema se reduce a idear alguna forma de o determinar la pendiente m de la recta tangente.

Y P f(x)

f(x )
0

P 0

Q

O

x0

x

X

Tangente a y = f(x) en (x ,f(x ))
0 0Si escogemos un valor de x cercano a x0 , se ocurre considerar la recta que pasa por P0 y P (x, f (x)). Nos referiremos a ella como la cuerda que pasa por los puntos P0 y P . Si observamos con cuidado la figura, veremos que es f´cil a determinar el valor de la pendiente de la cuerda P P0 . Concretamente, si mx denota la pendiente de dicha cuerda, tenemos PQ f (x) − f (x0 ) . = x − x0 P0 Q

mx =tg( P P0 Q) =

(x El cociente f (x)−f 0 0 ) recibe el nombre de cociente incremental y su valor es x−x precisamente la pendiente de la cuerda P P0 . Ahora, el paso fundamental es darse cuenta de que la cuerda P P0 tiende a convertirse en lo que entendemos por recta tangente, a medida que el punto P (x, f (x)) se acerca a P0 . Y, para que esto ocurra, basta con que se tome x cada vez m´s cercanoa x0 . Esta a (x es la idea crucial: comprender que, si el cociente incremental f (x)−f 0 0 ) es la x−x

2

pendiente de la cuerda P P0 , entonces la pendiente de la recta tangente se puede encontrar calculando el l´ ımite de dicho cociente cuando x tiende a x0 . De esta forma llegamos a la expresi´n o m = l´ ım
x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

As´ queda resuelto el problema de la tangentey se pone de manifiesto el ı inter´s de estudiar con detenimiento el l´ e ımite anterior. No es esta la unica ´ aplicaci´n de la derivada sino que se trata tan s´lo de la primera de entre las o o numerosas aplicaciones que se encontraron con posterioridad, algunas de las cuales se ir´n estudiando a lo largo del curso. a

2.1.2.

Los conceptos de derivada y de diferencial de una funci´n en unpunto o
f (x) − f (x0 ) , x − x0

Si existe y es finito el l´ ımite siguiente
x→x0

l´ ım

se denota por f (x0 ) y se denomina derivada de f en el punto x0 . El apartado anterior nos permite obtener una interpretaci´n geom´trica o e de f (x0 ): representa la pendiente de la recta tangente a la curva de ecuaci´n o y = f (x) en el punto (x0 , f (x0 )). Por tanto, la ecuaci´n de dicha rectatano gente tiene la forma y = f (x0 ) + f (x0 ) · (x − x0 ). Vamos a ver otra aplicaci´n del concepto de derivada en relaci´n con el o o problema de la aproximaci´n de funciones complicadas por medio de funo ciones m´s simples. Una funci´n polin´mica de primer grado g(x) = ax + b a o o recibe el nombre de funci´n af´ Si una funci´n f es derivable en x0 , proo ın. o baremos que puede aproximarse f...