matematica

SEGUNDA UNIDAD: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
La Integral definida tiene múltiples aplicaciones, estudiaremos algunas de ellas:
1. El área entre curvas
2. El área en coordenadas polares
3. El volumen de un sólido de revolución
4. El centroide de una figura plana
5. Longitud de Arco
6. El área de una superficie de revolución
7. El trabajo realizado al vaciar estanques

1. AREA ENTRE CURVASRecordemos que si f es una función continua y no negativa en [a, b], entonces el área bajo
la gráfica de f, el eje X y las rectas x = a y x = b está dada por

k (b  a)  b  a

A   f ( x)dx  lim  f  a 

a
n
n  n
k 0 
n

b

Supongamos que f ( x)  0 en [a, b]
Entonces
b

b

a

a

A    f ( x)dx   f ( x)dx
A

Definición: Si f (x) es continua en [a,b]entonces, el área limitada por su gráfica, el eje X y
las rectas x = a y x = b está dada por:
b

A   f ( x) dx
a

Nota: como la fórmula utiliza el valor absoluto de la función, hay dos maneras de
resolverla:
a) Aplicando la definición de valor absoluto para conocer el intervalo dónde la
gráfica de la función está sobre el eje X y el intervalo dónde la gráfica de la
función está bajoel eje X.
b) Graficando la función en el intervalo dado, para encontrar dichos intervalos

Ejemplo:
1. Hallar el área limitada por la gráfica de

y  x 3 , el eje X en el intervalo

Solución:
La gráfica muestra que la función es negativa
entre [-1,0] y positiva para valores mayores que
cero.

También se puede llegar a esta conclusión,
aplicando la definición de valor absoluto:

x 3 si  1  x  0
f ( x)   3
 x si 0  x  2
0

A    x dx  
3

1

2. Evaluar el área limitada por la gráfica de

[-1,2]

2

0

x4
x dx  
4
3

0

2

 

x4
17 2


u
4 0 4
1

y  cos x , el eje X en  2 ,  

 2  x  2
cos x
cos x  

2  x 
 cos x
Como lo muestra la figura:



2



2

2





A   cos xdx   cos xdx  2senx 02  senx   3
2

Supongamos dos funciones f y g continuas en [a, b] y tal que
hallar el área entre ambas gráficas y las rectas x = a y x = b
f(x)
A
g(x)

a

b

x  a, b, f ( x)  g ( x) . Interesa

Análogamente, a la deducción hecha para el área bajo la curva, sea P una partición del
intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud y xk * unpunto cualquiera dentro del k –

xk 1, xk  . Cada rectángulo tiene área

ésimo intervalo





Ak  f ( xk* )  g ( xk* ) x

Luego el área total será
n





A  lim  f ( xk* )  g ( xk* ) x
n 

k 1

A    f ( x)  g ( x)dx
b

a

Definición:
Sean f y g funciones continuas en [a, b]. Entonces el área A de la región comprendida
entre sus gráficas en [a, b]está dada por:
b

A   f ( x)  g ( x) dx
a

Ejemplos:
1.- Hallar el área de la región limitada por las gráficas de

y  x3 , y  x

Solución
En este caso no nos dan el intervalo de
integración, debemos encontrarlo igualando
ambas funciones:

x2  x
x( x  1)  0
x  0 x 1
Además, sabemos que en el intervalo

x  x2

[0, 1],

A



2.-

Hallar

1

0

comolo muestra la figura:
1



 

x 2 x3
1
x  x dx 

 u2
2 3 0 6

yx x
3

2

el

área

de

la

región

limitada

por

las

gráficas

de

y  x  4 x  1 x  1

Solución
Para poder graficar la primera función, usaremos nuestros conocimientos de máximos y
mínimos:

y  x3  x
y'  3x 2  1  0  x  

1
3

y' '  6 x
mínimo en x 

1
3máximo en x  

1

1
3



 



A   x  4  x3  x dx  8 u 2
1

3.-

Hallar

y  x  2x  3
2

el

área

de

la

región

limitada

por

las

y  2 x  2 x  1 x  3

Solución
La primera función es una parábola de
vértice

y  x2  2x  3
y  4  ( x  1) 2
V (1,4)
Y corta al eje X en

( x  3)( x  1)  0
x  1
x3
3



 ...