matematica

Divulgaciones Matem´
aticas Vol. 15 No. 1(2007), pp. 71–76

Continuidad y Teorema de
Heine-Cantor
Continuity and Theorem of Heine-Cantor
Reinaldo Antonio Cadenas Aldana (rcadena@ula.ve)
Facultad de Humanidades y Educaci´on,
Universidad de los Andes, N´
ucleo la Liria,
Avenida las Am´ericas, M´erida, Venezuela.
Resumen
En este trabajo presentamos dos pruebas del Teorema de HeineCantor(sobre un conjunto compacto de la recta) fundamentadas en los
resultados dados por R. F. Snipes en [3], en los cuales considera algunos
tipos de sucesiones para caracterizar la continuidad y la continuidad
uniforme de una funci´
on sobre espacios m´etricos.
Palabras y frases claves: Sucesiones de Cauchy, sucesiones paralelas,
sucesiones equivalentes, continuidad, continuidad uniforme,teorema de
Heine-Cantor.
Abstract
In this work we present two proofs of the Theorem of Heine-Cantor
(on a compact set of the real line) based on the results given by R. F.
Snipes in [3], where some types of sequences are considered in order
to characterize the continuity and the uniform continuity of a function
over a metric space.
Key words and phrases: Cauchy Sequences, equivalent sequences,parallel sequences, sequences, continuity, uniform continuity , theorem
of Heine-Cantor.

1

Introducci´
on

Usualmente encontramos resultados que caracterizan la continuidad usando
sucesiones (hablando de funciones secuencialmente continuas y funciones que
Recibido 2007/01/15. Revisado 2007/07/13. Aceptado 2007/09/25.
MSC (2000): Primary 01A60; Secondary 46B03, 40H05.

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preservan sucesiones convergentes) como por ejemplo lo hace Lima en [2] o
Snipes en [3]. Con la clasificaci´on que hace F Snipes en [3] de las sucesiones se
caracteriza la continuidad de una funci´on (sobre dominios cerrados) considerando tres tipos de sucesiones: sucesiones convergentes, sucesiones de Cauchy
y sucesiones equivalentes.
Presentaremos un resultado dado por Snipes en[3] que caracteriza la continuidad uniforme en base a tres tipos de sucesiones: sucesiones convergentes,
sucesiones de Cauchy y sucesiones paralelas.
Por u
´ltimo damos dos pruebas r´apidas y elegantes del Teorema de HeineCantor (las nociones de continuidad y continuidad uniforme sobre un conjunto
compacto de la recta son equivalentes) utilizando el comportamiento de las
sucesiones de Cauchyy de las sucesiones equivalentes bajo funciones continuas
en dominios cerrados y acotados; con estos enfoques la demostraci´on difiere de
la prueba cl´asica donde se utiliza el teorema de Lebesgue sobre cubrimientos
abiertos (ver Apostol [1]).

2

Sucesiones y Continuidad

A continuaci´on daremos una clasificaci´on sobre sucesiones que Snipes presenta
en [3].
En todo el desarrolloasumiremos que IR; el conjunto de los n´
umeros reales,
est´a dotado de la m´etrica usual, y que los conjuntos mencionados son subconjuntos de IR, as´ı, como los elementos se˜
nalados son n´
umeros reales.
Definici´
on 1. Una sucesi´on (xn ) se llama de Cauchy si
∀ > 0 ∃ n0 = n( ) ∈ IN : n, m > n0 ⇒ |xn − xm | < .
Dos sucesiones (xn ) y (yn ) se llaman paralelas y se escribe (xn )

(yn ) si∀ > 0 ∃ n0 = n( ) ∈ IN : n > n0 ⇒ |xn − yn | < .
Dos sucesiones (xn ) y (yn ) se llaman equivalentes y se escribe (xn ) ≈ (yn )
si
∀ > 0 ∃ n0 = n( ) ∈ IN : n, m > n0 ⇒ |xn − ym | < .
Es un hecho conocido que las funciones continuas no transforman sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy, basta considerar la funci´on
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f : (0, 1] → IR dada por f (x) = x1 . Cuando imponemos la condici´on de que el
dominio A de la funci´on sea un conjunto cerrado en IR, entonces si f : A → IR
es continua en A, f transforma sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy,
como lo veremos en el siguiente lema.
Lema: 1. Sean A un conjunto cerrado en IR y f : A → IR una funci´
on. Las...