Matematica

XXXII TORNEO INTERNACIONAL DE LAS CIUDADES PRIMAVERA 2011 DEL HEMISFERIO NORTE NIVEL JUVENIL 1. Decidir si existe algún hexágono que se pueda dividir en cuatro triángulos congruentes mediante uncorte recto. 4 PUNTOS 2. Se divide el plano en ángulos de 1º mediante 180 rectas que pasan por el origen (las 180 rectas son los dos ejes y otras 178 rectas). Se traza la recta y = 100 − x y se marcan lospuntos de corte de esta recta con las 180 trazadas anteriormente. Hallar la suma de las primeras coordenadas de estos puntos.
4 PUNTOS

3. El barón de Münchausen tiene un conjunto de 50 monedascuyos pesos son enteros positivos distintos menores o iguales que 100 y tales que el peso total de todas las monedas es un número par. El barón afirma que es imposible distribuir todas estas monedas endos grupos de igual peso. ¿Puede ser cierto lo que afirma el barón? 5 PUNTOS 4. Sea N un entero positivo dado. Demostrar que existen dos pares de enteros positivos (a, b) y (c, d ) tales que las sumasde los números en ambos pares son iguales ( a + b = c + d ) y el a ⋅b = N ). 6 PUNTOS cociente de los productos de los números en ambos pares es igual a N ( c⋅d 5. Sea ABC un triángulo acutángulo yAA1 , BB1 dos de sus alturas. Se trazan desde A1 perpendiculares a AC y a AB, y se trazan desde B1 perpendiculares a BC y a BA. Demostrar que los cuatro puntos en los que estas perpendiculares cortan alos lados AC, AB, BC y BA son 7 PUNTOS los vértices de un trapecio isósceles. 6. Dos hormigas describen, cada una, un camino cerrado en un tablero cuadrado de 7 × 7. Cada una se mueve exclusivamentepor lados de los 49 cuadraditos del tablero y pasa por cada uno de los 64 vértices de cuadraditos exactamente una vez. Determinar el menor número posible de lados de cuadraditos que están a la vez enlos dos caminos. 10 PUNTOS 7. En cada casilla de un tablero cuadrado hay escrito un número de modo que la suma de los dos números más grandes de cada fila es igual a a, y la suma de los dos números...