matematica

Número áureo
El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:

También se representa con la letra griega Tau (Τ τ), por ser la primera letra de la raízgriega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (Φ, φ) es más común. También se representa con la letra griega alpha minúscula
Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética sino como relación o proporción entredos segmentos de una recta; o sea, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporciónáurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
Definición
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a máslargo que b), que cumplen la siguiente relación:
La longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.
Escrito como ecuación algebraica: 
Siendo el valor del número áureo φ el cociente 
Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividirla longitud del segmento mayor entre la del menor.
Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

Si  es igual a  entonces la ecuación queda:

Multiplicando ambos miembros por , obtenemos:

Igualamos a cero:

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación.
El númeroáureo en las matemáticas
Propiedades y representaciones
Ángulo de oro
 Razón número áureo
Propiedades aritméticas
 es el único número real positivo tal que:

La expresión anterior es fácil de comprobar:


φ posee además las siguientes propiedades:


Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida unaverdadera sucesión recurrente de potencias.
El caso más simple es:  , cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.
Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma
,
donde  es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es,  y.
Peropodemos «saltar» la potencia inmediatamente anterior y escribir:
. Aquí ,  ,  ,  y .
Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:

En general:
.
En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmularecurrente es posible que aparezcan potencias negativas de, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de  corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.
Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.
El número...