Matematica

EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 3
Observación: En todos los ejercicios se ha puesto A , como notación de contrario de A.
Ejercicio nº 1.En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el
número que tiene.
a) Describe los sucesos, escribiendo todos sus elementos.
B = "Obtener impar"
i. A = "Obtener par"
ii. C = "Obtener primo"
D = "Obtener impar menor que9"
b) ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D?
c) ¿Cuál es el suceso A ∪ B? ¿y C ∩ D?
Solución:
a) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
B = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
D = {3, 5, 7}
b) B = A ;

D⊂C

c) A ∪ B = Ω (Espacio muestral); C ∩ D = D
Ejercicio nº 2.Sabiendo que: P[A ∩ B] = 0,2 ;
Calcula P[A ∪ B] y P[A].

P[ B ] = 0,7;

P[A ∩ B ] = 0,5

Solución:P[A] = P[A ∩ B ] + P[A ∩ B] = 0,5 + 0,2 = 0,7
P[B] = 1 − P[ B ] = 1 − 0,7 = 0,3
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] = 0,7 + 0,3 − 0,2 = 0,8

Ejercicio nº 3.Sabiendo que: P[A] = 0,5;

P[ B ] = 0,6 ;

P[ A ∩ B ] = 0,25

1

a) ¿Son A y B sucesos independientes?
b) Calcula P[A ∪ B] y P[A / B].
Solución:
a)
P[ B ] = 1 − P[B] = 0,6 → P[B] = 0,4
P[ A ∩ B ] = P[ A ∪ Β ] = 1 − P[A ∪ B] =0,25 → P[A ∪ B] = 0,75
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] → 0,75 = 0,5 + 0,4 − P[A ∩ B] → P[A ∩ B] = 0,15
Por tanto:
P [A] ⋅ P [B ] = 0, 5 ⋅ 0, 4 = 0, 2 
 P [A ∩ B ] ≠ P [A] ⋅ P [B ]
P [A ∩ B ] = 0,15


Luego, A y B no son independientes.
b) Hemos obtenido en el apartado anterior que: P[A ∪ B] = 0,75
Por otra parte:
P [A / B ] =

P [A ∩ B ]
P [B ]

=

0,15
= 0,375
0,4Ejercicio nº 4.En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si
un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres
temas?

Solución:
Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra el siguiente suceso:
A = "el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas"
Para calcularla, utilizaremos elcomplementario. Si sabe 35 temas, hay 85 - 35 = 50 temas que no
sabe; entonces:
P [A] = 1 − P [ A ] = 1 − P ["no sabe ninguno de los tres"] =
= 1−

50 49 48
⋅
⋅
= 1 − 0,198 = 0,802
85 84 83

Por tanto, la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de 0,802.

Ejercicio nº 5.En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2 500 personas para saber la audiencia de undebate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2 100 vieron la película, 1 500 vieron el
debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que vio el debate?
c) Sabiendo que vio la película, ¿cuál es laprobabilidad de que viera el debate?

Solución:
Organizamos la información en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:

2

Llamamos D = "Vio el debate" y P = "Vio la película".
a) P [D ∩ P ] =

1 450 29
=
= 0, 58
2 500 50

b) P [P / D ] =

1 450 29
=
= 0, 97
1 500 30

c) P [D / P ] =

1 450 29
=
= 0, 69
2 100 42

Ejercicio nº 6.Tenemos dos urnas: laprimera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas
rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
b) Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la primera
urna?

Solución:
Hacemos un diagrama en árbol:

3
3
27
+
=
20 16 80
P [Iy B ]
3 / 20
4
b) P [I / B ] =
=
=
27 / 80 9
P[B ]
a) P [B ] =

Ejercicio nº 7.Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6
bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola de
B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos...