matematica

Relación matemática

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.
Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo:

Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)
Del ejemplo anterior podríamos decirmatemáticamente que:
S ---> I
Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre todos o algunos del primer conjunto con uno o más del segundo conjunto.

Ejemplos de relación
A = {1, 4, 6}
B = {2, 3, 7}

La relación que existe entre A y B es mayor que, por lo que:
ARB= { (6,2) (4,2) (6,3) (4,3)}

Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno delotro, se habla de función. Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su vez, relaciones matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones.

En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre de rango o recorrido. Las relaciones matemáticas existentes entre ellos se pueden graficar en elesquema llamado plano cartesiano.

Dominio y rango de una relación

Dominio: es el conjunto de pre imágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados.

Rango: Al conjunto de imágenes pertenecientes al conjunto de llegada que están relacionados con los elementos del conjunto de partida.

Ejemplo
Sea A = {1, 2, 3, 4} yB = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.

Solución

El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5),(4, 6), (4, 7), (4, 8)}

Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}

En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es pre imagen de 4”.

Así, el dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}

Grafica de una relación

Los pares ordenados se puedenrepresentar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano.

Veamos el siguiente ejemplo.


 Ejemplo


 Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla
 R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.


  Solución. Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:


 R= {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}


 Y la gráfica correspondiente es la siguiente:




Propiedades de la relación


Propiedad reflexiva

Diremos que R es reflexiva si  "aÎA,  a R a. 

Gráficamente podríamos representarla así:

 
Si la relación  R  es reflexiva  entonces la diagonal pertenece  a  la relación.


Si la relación  R  es reflexiva  entoncestodo elemento tiene una flecha que comienza y termina en sí mismo (un bucle).



Propiedad simétrica

Diremos que R es simétrica si  " a, b ÎA:  a R b Þ b R a.

Gráficamente se representa así:




Si la relación  R  es simétrica   sobre  A   entonces   los pares relacionados se reflejan respecto a la diagonal principal.


Si la relación  R  es simétrica  entoncestodo par de elementos que tiene una flecha la tiene en las dos direcciones.


Propiedad Anti simétrica

Diremos que R es antisimétrica si  " a, b ÎA:  [a R b Ù b R a] Þ a = b.

Gráficamente la podemos representar así:


Si la relación  R  es anti simétrica  pueden existir pares por encima o por debajo de la diagonal pero  ningún par tiene reflejo respecto a la...