matematica

CAPÍTULO

3
Aplicaciones de primer orden

3.5 Mezclas
Si disolvemos 500 g de azúcar en 20 ` de agua, obtenemos una solución dulce con una concentración
500
C D
g/` D 25 g/` de azúcar (se lee 25 gramos por litro y significa 25 gramos de azúcar por cada litro
20
de solución).
Cuando disolvemos 10 lb de sal en 50 gal de agua, obtenemos una solución salina o salmuera con una
10concentración C D
lb/gal D 0:2 lb/gal de sal (léase 0:2 libras por galón).
50
En general, si disolvemos Q kg (o cualquier unidad de masa) de un soluto en V ` (o alguna otra unidad de
Q
volumen) de un solvente, obtenemos una solución con una concentración C D
kg/` del soluto (leído
V
C kilogramos por litro y entendido como C kilogramos de soluto por cada litro de solución). Esto es

500 g
en
20`

10 lb
en
50 gal

Q kg
en
V `

C D 25 g/`

C D 0:2 lb/gal

C D

Q
kg/`
V

Ahora supongamos que inicialmente (en t D 0) tenemos en un tanque una cantidad V0 de solución donde
hay disuelta una cantidad Q0 de un soluto. Supongamos también que, a partir de t D 0, se deja entrar
otra solución al tanque con una rapidez Re (flujo de entrada) y con una concentración Ce(concentración de
entrada) del mismo soluto y que, al mismo tiempo, se deja salir del tanque la nueva solución (considerada
uniforme por mezclado) con una rapidez Rs (flujo de salida) y una concentración Cs (concentración de sali1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

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2

Ecuaciones diferenciales ordinarias

da) del mismo soluto.
Observamos lo siguiente:
1. Si Re D Rs , entonces la cantidad V0 desolución se mantiene constante al paso del tiempo t.
2. Si Re ¤ Rs , entonces la cantidad V de solución será función del tiempo t; es decir, V D V .t/. Aún más,
si Re > Rs , entonces V .t/ > V0 (además es creciente); mientras que, si Re < Rs , entonces V .t/ < V0
(además es decreciente).
3. En general, la cantidad Q de soluto en el tanque será función del tiempo t; es decir, Q D Q.t/.
4.Igualmente, la concentración C del soluto en el tanque será función del tiempo t; y variará según que
Re D Rs o que Re ¤ Rs , esto es,
C.t/ D

Q.t/
V0

o bien

C.t/ D

Q.t/
:
V .t/

5. Un problema que es de interés en esta clase de procesos consiste en determinar la cantidad Q.t/ de
soluto en el tanque en cualquier instante t 0.
Para resolver este problema procedemos como sigue:Consideremos primero la rapidez con que cambia la cantidad de soluto Q.t/ en el tanque, la cual está dada
por la rapidez con que entra el soluto menos la rapidez con la que sale. Esto es,
d
Q.t/ D rapidez con que entra el soluto
dt

rapidez con que sale el soluto :

Si tomamos en cuenta que
la rapidez con que entra el soluto es Re Ce ;
la rapidez con que sale el soluto es Rs Cs D Rs C.t/.
Elmodelo de este proceso queda como el PVI:
d
Q.t/ D Re Ce
dt

Rs C.t/;

con

Q.0/ D Q0 :

El método de solución de este PVI dependerá de las condiciones del problema.
Ejemplo 3.5.1 En un tanque que contiene 1 000 ` de agua, inicialmente se disuelven 5 kg de sal. Luego se bombea
salmuera al tanque a razón de 20 `/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia afuera del tanquea la
misma razón. Considerando que la concentración de la solución que entra es de 0:01 kg/`, determinar:
1. La cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante t

0.

2. La cantidad de sal en el tanque después de 30 min.
3. La cantidad de sal en el tanque después de mucho tiempo.
4. El tiempo que debe transcurrir para que haya 8 kg de sal en el tanque.
H Sea Q.t/ la cantidad(en kg) de sal en el tanque después de t min. Como inicialmente se tienen 5 kg de
sal, entonces Q.0/ D 5.
La rapidez de cambio de la cantidad Q.t/ de sal en el tanque en el instante t es
d
Q.t/ D rapidez con que entra la sal
dt
¿Con qué rapidez entra la sal al tanque?

rapidez con que sale la sal :

3.5 Mezclas

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Ya que la solución entra con una rapidez Re D 20 `/min y con una...