Matematica

s6) ¿Qué es un número imaginario? 
Programa de Actividades Unidad 1.
Parte 2.
 
1.11 Ecuaciones cuadráticas.

 
Algunos  fenómenos  en  la  naturaleza 
parecen  ajustarse  a  un  modelo 
matemático  conocido  como  cuadrático. 
Las  ecuaciones  cuadráticas  o  ecuaciones 
de  segundo  grado  son  aquellas  que 
contienen  en  alguno  de  sus  términos  a la variable al cuadrado. 
 
Actividad  1.15  Utilizando  diferentes 
fuentes  de  consulta  responde  el 
siguiente  cuestionario,  redactando  la 
respuesta  con  tus  propias  palabras 
(puedes  incluir  diagramas,  dibujos, 
ejemplos)  incluye  al  final  de  la  lista  las 
fuentes que consultaste. 
1) ¿Qué  son  las  raíces  de  una 
ecuación cuadrática? 
2) ¿Qué  tipos  de  raíces  pueden 
aparecer  en la  solución  de  una 
ecuación de segundo grado? 
3) ¿Qué es el discriminante? 
4) ¿Qué  información  nos  aporta  el 
discriminante  de  una  ecuación 
cuadrática? 
5) ¿Qué es número complejo? 

 
1.12 Solución de una ecuación
cuadrática.
 

Existe  una  variedad  de  métodos  para 
resolver  las  ecuaciones  de  segundo 
grado,  en  algunos  casos  una  simple 
factorización basta  para  encontrar  las 
raíces.  Existe  una  fórmula  general  para 
todas  las  ecuaciones  cuadráticas  de  la 
forma  ax²  +  bx  +  c  =  0.  En  nuestro  caso, 
conviene  ensayar  el  método  de 
completar  el  cuadrado,  con  el  fin  de 
practicar  el  algebra  que  nos  será 
necesario en unidades posteriores. 
 
Método de completar el cuadrado. 
Ejemplo  1.12.1 Determina  las  raíces  de 
la  ecuación  3x²  ‐  12x  +  8  =0  por  el 
método  de  completar  el  cuadrado  o  el 
trinomio. 
 El  método  consiste  en  buscar  que  el 
coeficiente del término cuadrático tenga 
un  valor  de  1  para  completar  un 
trinomio,  factorizarlo  y  despejar  la 
variable.  
Primero  hacemos  que  el  coeficiente  a 
tenga  un  valor  unitario  para  hacerlo, 

  

1

dividimos  toda  la  ecuación  entre  el 
coeficiente a: 

  Observa  que  desarrollando  el 
binomio  obtenemos  los  dos  primeros 
términos de nuestro problema 
 

 
Ahora despejamos el término cuadrático 
y el lineal: 

 
Ahora  escribimos  un  binomio  que 
desarrollado  y  simplificado  nos  de  como 
resultado  el  miembro  izquierdo.  Para 
ello  recuerda  que un  binomio  (x  +  a)²  se 
desarrolla  en  x²  +  2a  +  a²  observa  que  el 
segundo  término  del  binomio  al 
cuadrado,  cuando  se  desarrolla  implica 
multiplicar  por  2  al  producto  de  los  dos 
términos  que  componen  al  binomio. 
Para ir en sentido contrario y pasar de la 
forma  desarrollada  a  la  forma 
factorizada  debemos  de  dividir  entre  2 
el  segundo término  desarrollado  y  así  se 
obtiene  el  segundo  término  del  binomio 
al  cuadrado.  Sabiendo  esto,  volvemos  a 
nuestro  problema,  para  encontrar  el 
segundo  término  del  binomio  al 
cuadrado  dividimos  entre  2  el  segundo 
término del lado izquierdo, obtenemos: 

Ahora,  al  sustituir  los  dos  primeros 
términos  por  el  binomio  aparece  un 
tercer  término  que  es el  4,  este  no 
aparece  originalmente  en  nuestro 
problema  por  lo  que  al  hacer  la 
sustitución  simple  estamos  modificando 
la  ecuación,  para  obtener  una  ecuación 
equivalente  restamos  a  nuestra 
ecuación  este  4  quedando  el  lado 
izquierdo de la siguiente forma: 

 
Esta  ecuación  es  equivalente  a  la 
original.  A  partir  de  aquí  lo  que  procede 
es un  despeje  de  la  variable  x.  primero 
cancelamos  el  ‐4  del  lado  izquierdo 
sumando  4  a  cada  lado  de  la  ecuación, 
quedando: 

8
−4+4 =− +4
3
2
+
( x − 2) = − 8 3 1 2
2
( x − 2) = 4
3
 

( x − 2)

2

 
 

2

Obtenemos  la  raíz  de  ambos  lados, 
recuerda  que  en  algebra  al  no  estar 
especificado  el  argumento  del  binomio 
se  debe  de ...