Matematica

ESPACIO VECTORIAL
Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.
Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimensional, debe tomarse encuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.
Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares,y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.
Ejemplo:PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES
Los Axiomas.

Si x ϵ V y y ϵ V, entonces x + y ϵ V (cerradura bajo la suma)

Para todo x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma de vectores)

Existe un vector 0 ϵ V tal que para todo x ϵ V, x + 0 = 0 + x = x.

Si x ϵ V, existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x).Si x y y están en V, entonces x + y = y + x (ley conmutativa de la suma de vectores)

Si x ϵ V y α es un escalar, entonces αx ϵ V (cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy (primera ley distributiva)

Si x y y están en V y α y β son escalares, entonces (α + β)x = αx + βx (segunda leydistributiva).

Si x ϵ V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x (ley asociativa de la multiplicación por escalares).

Para cada vector x ϵ V, lx = x

Ejemplo n°1: el espacio vectorial cero consiste solo en el vector 0, esto es V = {0} y la suma y multiplicación por un escalar se define como:
0 + 0 = 0 y K 0 = 0a 1
Ejemplo n°2: diga si el conjunto de matrices de la forma 1 b forman o no un espacio vectorial con las operaciones comunes, siendo a y b números reales cualesquiera.
Solución: será suficiente comprobar el 1er o 6to axioma.
a 1 + c 1 = a + c 1 + 1 = a + c 2
Si se efectúa: 1 b 1 d 1 + 1 b + d2 b + d
Resulta una matriz que tiene en su diagonal secundario números diferentes de uno, por lo tanto no se cumple el axioma ya que la matriz resultante no pertenece al espacio vectorial.

Ejemplo 3: El conjunto de punto en R2 que están en una recta que pasa por el origen constituye un espacio vectorial
Sea V = {x, y): y = mx, donde m es un número real fijo y x es unnúmero real arbitrario}
Es decir, V consiste en todos los puntos que están sobre la recta y = mx que pasa por el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que v es un espacio vectorial, se puede verificar que se cumple cada uno de los axiomas. Observe que los vectores en R2 se han escrito como renglones en lugar de columnas que en esencia es lo mismo.

Suponga que x = (x1, y1) y y = (x2, y2)están en V. Entonces y1 = mx1, y2 = mx2 y x + y = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, mx1) + (x2, mx2) = (x1 + x2, mx1 + mx2)
= (x1 + x2, m(x1 + x2)) ϵ V
Por lo tanto se cumple el axioma i).
Suponga que (x, y) ϵ V. Entonces y = mx y –(x, y) = -(x, mx) = (-x, m(-x)) , de manera que –(x, y) también pertenece a V y (x, mx) + (-x, m(-x)) = (x –x, m(x – x)) = (0, 0).
Todo vector en V es un...