matematica
Para iniciar el estudio de la integral definida debemos de tener conocimientos básicos en aritmética, álgebra, trigonometría, derivación y anti derivada (integral indefinida).
Para definir la integral definida introduciremos algunos conceptos que la fundamentan.
NOTACIÓN DE SUMATORIA.
Cuando sumamos 1+2+3+4+5+6+...........+n se puede representar de una maneracompacta así: Para obtener el resultado anterior se sustituye i por cada uno de los números sumando el resultado. Entonces podemos escribir así.
= 1+2+3+4+5+.....+n
Ejemplos Encontrar el resultado de las siguientes sumatorias.
a)
= 3 + 7 + 9 + 11
= 30
b)
=
FORMULASBASICAS DE SUMATORIAS.
Así sucesivamente usando se podrirían encontrar otras formulas para los diferentes exponentes...
Ejemplo2.
Usando las formulas encontrar y comprobar las siguientes sumatorias.
PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS.
Ejemplo 3.Verificar que:Desarrollando ambos miembros tenemos;
5(1)+5(2)+5(3)+5(4) = 5(4)(4+1) / 2
50 = 50
Ejemplo 4. Verificar
Desarrollando ambos miembros tenemos:
[3(1)+4(1)]+[3(2)+4(2)]+[3(3)+4(3)] = 3(3)(3+1)/2 + 4(3)(3+1)/2
[7] + [14] + [21] = 18 + 2442 = 42
Ejemplo 5 Verificar que: (para el lector)
Ejemplo 5 Encontrar:
Desarrollando cuadrado y usando formulas se tiene
SUMA DE RIEMANN
Sea la función y = f(x) definida en el intervalo cerrado [a,b] ,Dividamos el intervalo [a,b] de tal forma que : a = x0 x1 x2 x3...... xn = b gráficamente :
.a x1 x2 x3 x4 x5 xn-1 b
Sea x1 = x1 - x0
X2 = x2 - x1
x3 = x3 - x2
. .
xn = xn - xn-1
Sean: c1, c2, c3,............ cnlos valor cualquiera en cada intervalo formado con las divisiones anteriores.
Llamaremos sumas de Riemann a:
AREAS POR SUMAS DE RIEMANN
Sea f(x) una función definida en [a,b] que define un área según la siguiente grafica:
A
.a b
Nuestro objetivo es encontrar el áreaA, para lo que subdividiremos al área en rectángulos de ancho donde n es el número de rectángulos resultantes.
A
a b
Donde A1 es el área de todos los rectángulos formados interiormente en la región.
Es decir A1=
Se concluye de los gráficos que el área real es mayor que al área interior a( A A1)
Pero si
Por lo que podemos concluir que:
A =
Donde y ci = a + .ci = a +
Ejemplo:
Encontrar el área de la región limitada superiormente por la función
F(x) = x2 e inferiormente por el eje x desde x = 1 hasta x = 4
F(x)= x2
A
1 4
A =
INTEGRAL DEFINIDA
Sea f una función definida en un intervalocerrado [a, b], entonces la integral definida de f desde x = a hasta x = b que se denota así:
Se define como:
A el valor x = a se le denomina límite inferior y a x = b límite superior.
Ejemplo: Calcular:
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Estas propiedades se pueden comprobar usando el concepto de áreas .
Propiedad 1. La integral definida de una constante
Sea k un...
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