matematica

5

LÍMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD

Página 127
REFLEXIONA Y RESUELVE
Visión gráfica de los límites
■

Describe análogamente las siguientes ramas:
a)
lím
x 8 +@

b)

lím
x 8 +@

f (x) = 3

f (x) no existe

c)
lím
x 8 +@

f (x) = 3

d)
lím
x 8 +@

f (x) = +@

e)
lím
x 8 +@

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad

f (x) = –@

1

f)
lím
x 8 –@f (x) = +@

g)
lím
x 8 –@

h)

f (x) = 2

1

1

2

lím

f (x) = +@

lím

f (x) = –@

x 8 –1–

x 8 –1+

2

i)

1

2

1

2

lím f (x) = 5

x 8 4–

lím f (x) = 2

x 8 4+

j)
lím f (x) = –2

x82

2

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad

UNIDAD

5

Página 129
1. Si u (x) 8 2 y v (x) 8 –3 cuando x 8 +@, calcula el límite cuando x 8+@ de:
a) u (x) + v (x)
c)

b) v (x)/u (x)

5u (x)

d) √v (x)
3

e) u (x) · v (x)

f ) √u (x)

[u(x) + v (x)] = 2 + (–3) = –1
a) x lím
8 +@

v (x)
–3
=
b) x lím
u(x)
2
8 +@

5 u(x) = 5 2 = 25
c) x lím
8 +@

√v (x)
d) x lím
8 +@

[u (x) · v (x)] = 2 · (–3) = –6
e) x lím
8 +@

√u (x) = √2
f) x lím
8 +@

3

no existe
3

2. Si u (x) 8 –1 y v (x) 8 0cuando x 8 +@, calcula el límite cuando x 8 +@ de:
a) u (x) – v (x)

b) v (x) – u (x)

c) v (x)/u (x)

d) log2 v (x)

e) u (x) · v (x)

f ) √u (x)

a) lím [u (x) – v (x)] = –1 – 0 = –1

b) lím [v (x) – u (x)] = 0 – (–1) = 1

3

x 8 +@

c) lím

x 8 +@

x 8 +@

v (x)
0
=
=0
u(x)
–1

° – @ si v (x) 8 0+
d) lím log2 v (x) = ¢
x 8 +@
£ no existe si v (x) 8 0–
e) lím [u(x) · v (x)] = –1 · 0 = 0
x 8 +@

f)

lím
x 8 +@

3

3

√u (x) = √–1 = –1

Página 130
3. Indica cuáles de las siguientes expresiones son infinitos (±@) cuando x 8 +@:
a) 3x 5 – √x + 1

b) 0,5x

c) –1,5x

d) log2 x

e) 1/(x 3 + 1)

f ) √x

g) 4x

h)4–x

i) – 4x

a) lím (3x 5 – √x + 1) = +@ 8 Sí
x 8 +@

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad

3

b) lím0,5x = 0 8 No

c) lím (–1,5 x ) = – @ 8 Sí

d) lím log2 x = +@ 8 Sí

e) lím

f) lím √x = +@ 8 Sí

g) lím 4 x = +@ 8 Sí

h) lím 4 –x = 0 8 No

i)

x 8 +@

x 8 +@

x 8 +@

x 8 +@

x 8 +@

1
= 0 8 No
x3 + 1

x 8 +@

x 8 +@

lím –4x = – @ 8 Sí

x 8 +@

4. a) Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos:
log2 x

√x

x2

3x 5

1,5x

4xb) Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula:
log2 x
3x 5
√x
lím
lím
lím
x
2
x 8 +@ √ x
x 8 +@ x
x 8 +@ 1,5
a) log2 x
b) lím

x 8 +@

lím
x 8 +@

lím
x 8 +@

√x
log2 x

√x

x 2 3x 5 1,5x 4 x
=0

3x 5
= +@
x2

√x
=0
1,5 x

Página 131
5. Si, cuando x 8 +@, f (x) 8 +@, g (x) 8 4, h (x) 8 –@, u (x) 8 0, asigna,
siempre que puedas, límite cuando x 8+@ a las expresiones siguientes:
a) f (x) – h (x)

b) f (x) f (x)

c) f (x) + h (x)

d) f (x) x

e) f (x) · h (x)

f ) u (x)u (x)

g) f (x)/h (x)

h)[–h (x)]h (x)

i) g (x) h (x)

j) u (x)/h (x)

k) f (x)/u (x)

l) h (x)/u (x)

m) g (x)/u (x)

n)x + f (x)

ñ) f (x) h (x)

o) x + h (x)

p) h (x) h (x)

q) x –x

a)
b)

4

lím
x 8 +@

( f (x) – h (x)) = +@– (– @) = +@ + @ = +@

lím f (x) f (x) = (+@) +@ = +@

x 8 +@

Unidad 5. Límites de funciones. Continuidad

UNIDAD

c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)

lím
x 8 +@

( f (x) + h (x)) = (+@) + (– @)

5

8 Indeterminado

lím f (x) x = +@+@ = +@

x 8 +@

lím
x 8 +@

( f (x) · h (x)) = (+@) · (– @) = – @

lím u (x) u(x) = (0)(0) 8 Indeterminado

x 8 +@

lím
x 8+@

f (x)
= (+@)
h (x)
(– @)

8 Indeterminado

lím [–h (x)] h (x) = [+@] – @ = 0

x 8 +@

lím g (x) h (x) = 4 – @ = 0

x 8 +@

lím u (x) =

x 8 +@ h (x)

0
=0
–@

lím f (x) = +@ = ±@
(0)

x 8 +@ u (x)

lím h (x) = – @ = ±@
(0)
x 8 +@ u (x)

g (x)
4
m) lím
=
= ±@
(0)
x 8 +@ u (x)
n)
ñ)
o)
p)
q)

lím
x 8 +@

(x + f (x)) = +@ + (+@) = +@

lím f (x)...